出てくるもの（1）：第二高調波・位相整合・パラメトリック増幅

光学と量子エレクトロニクス　第17章 §17.3　★★★ 第二高調波の強度は $L^2\,\mathrm{sinc}^2(\Delta kL/2)$ に比例する。正常分散が作る不整合を、複屈折か $\chi^{(2)}$ の周期的な反転で消す。高い周波数の光を当てると、低い周波数の2つの波は指数関数的に増える

基本波の減らない第二高調波

第二高調波への変換が小さい間は、基本波の振幅 $A_\omega$ を一定とおいてよい。式 (17.8) の第1式を $0$ から $L$ まで積分すると

$$A_{2\omega}(L)=\frac{\mathrm{i}\omega\chi^{(2)}}{2n_{2\omega}c}A_\omega^2\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta kL}-1}{\mathrm{i}\Delta k}$$

で、$\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta kL}-1\rvert =2\lvert \sin(\Delta kL/2)\rvert$ を使い、強度に直すと

$$I_{2\omega}=\frac{\omega^2(\chi^{(2)})^2L^2}{2n_\omega^2n_{2\omega}c^3\varepsilon_0}\,I_\omega^2\,\mathrm{sinc}^2\Bigl(\frac{\Delta kL}{2}\Bigr),\qquad\mathrm{sinc}\,u=\frac{\sin u}{u}\tag{17.10}$$

を得る。変換効率 $\eta=I_{2\omega}/I_\omega$ は基本波の強度 $I_\omega$ に比例するので、パルスで強度を上げるほど効率が上がる。位相が整合していれば（$\Delta k=0$）$I_{2\omega}$ は結晶の長さの2乗に比例する。これは、各点の分極が作る波が同じ位相で足し合わさり、振幅が $L$ に比例して増えるからである。

$\Delta k\ne0$ では、$I_{2\omega}$ は $\lvert \Delta k\rvert L=2\pi$ ごとに $0$ に戻る。最初の極大までの距離

$$L_{\mathrm c}=\frac{\pi}{\lvert \Delta k\rvert }=\frac{\lambda}{4\lvert n_{2\omega}-n_\omega\rvert }\tag{17.11}$$

をコヒーレンス長と呼ぶ（$\lambda$ は基本波の真空の波長。$\Delta k=2k_\omega-k_{2\omega}=(2\omega/c)(n_\omega-n_{2\omega})$ を使った）。添字の c はこの節だけの記号である。長さ $L_{\mathrm c}$ を越えて結晶を長くしても、例題 17.3 の逆変換が始まって第二高調波は減る（図 17.1 の点線）。

第11章で見たとおり、透明な結晶では共鳴が紫外にあり、可視から近赤外は正常分散の範囲にある。したがって $n_{2\omega}>n_\omega$ が普通に成り立ち、$\Delta k\ne0$ である。屈折率の差が $0.08$ なら、波長 $1\,\mu\mathrm m$ の基本波で $L_{\mathrm c}$ は約 $3\,\mu\mathrm m$ にすぎない。P. A. Franken らの最初の第二高調波の実験（17.5節）は、位相を整合させる方法が知られる前のもので、第二高調波はごく弱かった。

複屈折による位相整合

第15章（第15章）で扱う一軸結晶では、光学軸に垂直に偏った常光線の屈折率 $n_{\mathrm o}$ は進む向きに依らず、光学軸を含む面内に偏った異常光線の屈折率は、光学軸と進む向きのなす角 $\theta$ によって

$$\frac{1}{n_{\mathrm e}(\theta)^2}=\frac{\cos^2\theta}{n_{\mathrm o}^2}+\frac{\sin^2\theta}{n_{\mathrm e}^2}$$

と変わる（ここでは第15章の結果を引く）。$n_{\mathrm e}<n_{\mathrm o}$ の結晶（負の一軸結晶）で、基本波を常光線に、第二高調波を異常光線に取ると、条件 $n_{\mathrm e}^{2\omega}(\theta)=n_{\mathrm o}^{\omega}$ を満たす角 $\theta_{\mathrm{pm}}$ が存在しうる。2つの屈折率の差を、分散でなく複屈折で埋めるのである。これを複屈折による位相整合と呼び、2つの基本波の光子が同じ偏光で入る形をタイプ I と呼ぶ。J. A. Giordmaine（1962、Phys. Rev. Lett. 8, 19）と P. D. Maker ら（1962、同誌 8, 21）が独立に示した。

擬似位相整合

もう1つの方法は、$\chi^{(2)}$ の符号を距離 $L_{\mathrm c}$ ごとに反転させることである。強誘電体の結晶では、強い電場を掛けて分極の向きを領域ごとに反転させ、$\chi^{(2)}$ の符号を周期 $\Lambda=2L_{\mathrm c}$ で入れ替えることができる。逆変換が始まる所で $\chi^{(2)}$ の符号が変わると、例題 17.3 の相対位相 $\theta$ が $\pi$ だけ飛び、第二高調波は再び増える区間に入る。

$\chi^{(2)}$ が $\pm\chi^{(2)}$ を周期 $\Lambda$ で繰り返す矩形波は、Fourier 級数で $\chi^{(2)}(z)=\chi^{(2)}\sum_{m}\frac{2}{\mathrm{i} m\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi mz/\Lambda}$（$m$ は正負の奇数）と書くことができる。$\Lambda=2\pi/\lvert \Delta k\rvert$ に選ぶと、$m=\pm1$ のうち一方の項の $\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi mz/\Lambda}$ が $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta kz}$ を打ち消し、それ以外の項は不整合のまま残るので平均して増えない。したがって

$$\Lambda=\frac{2\pi}{\lvert \Delta k\rvert }=2L_{\mathrm c},\qquad\chi^{(2)}_{\mathrm{eff}}=\frac{2}{\pi}\chi^{(2)}\tag{17.12}$$

で、効率は完全な位相整合の $(2/\pi)^2=0.405$ 倍になる。これを擬似位相整合と呼ぶ。J. A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P. S. Pershan（1962、Phys. Rev. 127, 1918）が結合波方程式の論文の中で提案した。複屈折による位相整合と違い、偏光と進む向きを自由に選べるので、$\chi^{(2)}$ のテンソルの最も大きな成分を使える。

基本波が減るとき

変換が進むと基本波が減る。$\Delta k=0$、$n_\omega=n_{2\omega}=n$ として式 (17.8) を厳密に解く。入口で $A_\omega=A_0$（実数）、$A_{2\omega}=0$ とすると、例題 17.3 のとおり $A_{2\omega}=\mathrm{i} B$（$B$ は実数）の形が保たれ、$\mathrm{d} B/\mathrm{d} z=\kappa A_\omega^2$、$\mathrm{d} A_\omega/\mathrm{d} z=-\kappa BA_\omega$（$\kappa=\omega\chi^{(2)}/(2nc)$）になる。Manley–Rowe の関係から $A_\omega^2+B^2=A_0^2$ なので、解は

$$A_\omega(z)=A_0\,\mathrm{sech}(\Gamma z),\qquad B(z)=A_0\tanh(\Gamma z),\qquad\Gamma=\kappa A_0=\frac{\omega\chi^{(2)}A_0}{2nc}\tag{17.13}$$

である。変換効率は $\eta=\tanh^2(\Gamma L)$ で、$\Gamma L\to\infty$ で $1$ に近づく。基本波の減らない近似の効率は $(\Gamma L)^2$ で、式 (17.10) の $\Delta k=0$ の場合と一致し、$\tanh^2u=u^2-\frac23u^4+\cdots$ なので、近似の相対誤差は $\frac23\eta$ の程度である。

パラメトリック増幅

式 (17.7) で、高い周波数 $\omega_3$ の強い波（ポンプ光）を当て、$\omega_1$ の弱い波（シグナル光）を入れる。差周波の分極から $\omega_2=\omega_3-\omega_1$ の波（アイドラー光）が生まれる。ポンプ光が減らないとして $A_3$ を一定とおき、$\Delta k=0$ とすると、第1式を $z$ で微分して第2式の複素共役を入れ、

$$\frac{\mathrm{d}^2A_1}{\mathrm{d} z^2}=\mathrm{i}\kappa_1A_3\frac{\mathrm{d} A_2^*}{\mathrm{d} z}=\kappa_1\kappa_2\lvert A_3\rvert ^2A_1$$

を得る。解は指数関数的に増える。入口でアイドラー光が無い（$A_2(0)=0$）とき、

$$A_1(z)=A_1(0)\cosh(gz),\qquad A_2(z)=\mathrm{i}\frac{\kappa_2A_3}{g}A_1(0)^*\sinh(gz),\qquad g^2=\kappa_1\kappa_2\lvert A_3\rvert ^2=\frac{\omega_1\omega_2(\chi^{(2)})^2I_3}{2n_1n_2n_3c^3\varepsilon_0}\tag{17.14}$$

である。シグナル光の強度は $G=\cosh^2(gL)$ 倍になり、アイドラー光の光子の流れは Manley–Rowe の関係どおり、増えたシグナル光の光子の流れ $\sinh^2(gL)$ 倍と同じだけ生まれる。これをパラメトリック増幅と呼ぶ。位相が整合していないときは $g$ が $\sqrt{g^2-(\Delta k/2)^2}$ に置き換わり、$\lvert \Delta k\rvert >2g$ では増幅が止まって振動になる。

第二高調波との違いは、高い周波数から低い周波数へエネルギーが流れることと、増え方が $z^2$ でなく指数関数になることである。シグナル光が増えるとアイドラー光の源の分極が大きくなり、増えたアイドラー光がまたシグナル光の源の分極を大きくするという正のフィードバックがあるからである。パラメトリック増幅の媒質を光共振器（第5章、第5章）に入れ、利得が共振器の損失を上回ると発振する。これが光パラメトリック発振器で、$\omega_1$ と $\omega_2$ の配分を位相整合の条件（結晶の角度や温度）で連続的に変えられる波長可変の光源になる。シグナル光を入れなくても、真空の揺らぎからシグナル光とアイドラー光が対で生まれる。この自発パラメトリック下方変換は場を量子化して初めて書ける過程で、第33章（第33章）で光子対の源として、第31章（第31章）でスクイーズド状態の源として扱う。