何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第17章 §17.5　★★ 電場のべきでの展開・包絡線の近似・基本波の減らない近似・3ステップモデルの4つの近似と、Franken の実験・Maker の縞・高次高調波のカットオフの強度依存性

置いた近似

1つ目は、分極を電場のべき級数 (17.2) で書き、2次か3次で打ち切ったことである。各次数の比は $E/E_{\mathrm{at}}$ の程度だが、共鳴に近づくと分母 $D(\omega)$ が小さくなって比が大きくなり、また 17.4節で見たとおり、$U_{\mathrm p}$ が $\hbar\omega$ や $I_{\mathrm p}$ に近づくと展開そのものが成り立たなくなる。応答を瞬間的とした点も、共鳴から離れていることの言い換えである。

2つ目は、包絡線 $A_j(z)$ が波長の距離でほとんど変わらないとして $A_j''$ を落としたことである。非線形な結合で振幅が変わる長さ（例題 17.6 なら $1/g=2\,\mathrm{mm}$）は波長 $1\,\mu\mathrm m$ の $10^3$ 倍以上あり、比 $1/(kL_{\mathrm{NL}})$ が小さいパラメータである。これは速い位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}$ とゆっくりした振幅 $A(z)$ の2つの尺度に分ける多重尺度法の1次にあたり、後ろ向きに進む波（反射）も落としている。

3つ目は、第二高調波とパラメトリック増幅で、強い波（基本波・ポンプ光）が減らないとしたことである。結合波方程式の中では、第二高調波の厳密解 (17.13) があり、近似の効率 $(\Gamma L)^2$ との相対誤差は $\frac23\eta$ の程度だと分かっている（例題 17.9）。

4つ目は、高次高調波の3ステップモデルで、イオン化の後の電子を古典粒子とし、原子核の力を無視したことである。Lewenstein らの量子力学の扱いも、連続状態の電子を平面波（Volkov 状態）にする同じ近似の上にある。$U_{\mathrm p}\gg I_{\mathrm p}$ かつ $\gamma_{\mathrm K}\ll1$ で正しくなると考えられるが、カットオフの式の係数 $3.17$ を数値解と比べると $I_{\mathrm p}$ に比例する小さな補正がある。

何の実験の量で確かめるか

最初の非線形光学の実験は、P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters, G. Weinreich（1961、Phys. Rev. Lett. 7, 118）が、波長 $694.3\,\mathrm{nm}$ のルビーレーザーの光を水晶に集光し、波長 $347.2\,\mathrm{nm}$ の第二高調波を検出したものである。Maiman の最初のレーザーの翌年で、強い光が初めて手に入ったことで2次の項が見えた。

式 (17.10) の $\mathrm{sinc}^2(\Delta kL/2)$ は、板状の結晶を回して光が通る厚さを変えると、第二高調波の強度が縞のように振動する形で確かめられる（Maker らの1962年の論文に由来して Maker の縞と呼ぶ）。縞の周期から $L_{\mathrm c}$、したがって $n_{2\omega}-n_\omega$ が、包絡線の高さから $\chi^{(2)}$ が求まり、$\chi^{(2)}$ の標準的な測定法の1つになっている。複屈折や擬似位相整合では、角度・温度・波長を変えたときの効率が $\mathrm{sinc}^2$ の形の山になり、その幅が結晶の長さに反比例することが確かめられる。

光 Kerr 効果は、自己位相変調で広がったスペクトルの形（式 (17.16) から $\phi_{\max}$ が大きいと山が $\phi_{\max}/\pi$ 個ほどに割れる）や、Kerr レンズによるビームの太さの変化から $n_2$ として測られる。高次高調波のカットオフの式 (17.19) は、強度を変えるとカットオフが $I$ に比例してずれること、波長を長くすると $\lambda^2$ で伸びることとして確かめられている。希ガスの高次高調波のプラトーは A. McPherson ら（1987、J. Opt. Soc. Am. B 4, 595）と M. Ferray ら（1988、J. Phys. B 21, L31）が最初に観測した。