授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第17章 §17.6　★★ 教科書の $d$ 係数・$\bm{E}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\mathrm{c.c.}$ の流儀・第二高調波の効率の式・$n_2$ の式が、この章の式とどう対応するか

学部の光学や量子エレクトロニクスの授業では、非線形な分極を

$$P_i=\varepsilon_0\Bigl(\sum_j\chi^{(1)}_{ij}E_j+\sum_{jk}\chi^{(2)}_{ijk}E_jE_k+\sum_{jkl}\chi^{(3)}_{ijkl}E_jE_kE_l\Bigr)$$

とテンソルで書き、第二高調波については $d_{ijk}=\frac12\chi^{(2)}_{ijk}$ と定義した $d$ 係数を使う。偏光と進む向きを決めると、テンソルの和は1つの数 $d_{\mathrm{eff}}$ にまとまり、この章のスカラーの $\chi^{(2)}$ は $2d_{\mathrm{eff}}$ にあたる。対称性で $\chi^{(2)}_{ijk}$ の成分の多くが $0$ になること（反転対称なら全部）は、この章の $P(-E)=-P(E)$ の議論をテンソルの成分ごとに行ったものである。

時間の複素表示の流儀は2つある。この本は $E(t)=\operatorname{Re}[E_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ で、多くの非線形光学の教科書は $E(t)=\mathcal A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}+\mathrm{c.c.}$ と書く。後者の振幅は $\mathcal A=E_0/2$ なので、第二高調波の分極も $P(2\omega)=\frac12P_{2\omega}$ になり、

$$P(2\omega)=\varepsilon_0\chi^{(2)}\mathcal A^2=2\varepsilon_0d_{\mathrm{eff}}\mathcal A^2\qquad\Longleftrightarrow\qquad P_{2\omega}=\tfrac12\varepsilon_0\chi^{(2)}E_0^2=\varepsilon_0d_{\mathrm{eff}}E_0^2$$

と対応する（式 (17.3)）。後者の流儀で $\frac12$ が見えないのは、その分が振幅の定義に入っているからで、強度も $I=2n\varepsilon_0c\lvert \mathcal A\rvert ^2$ と書かれる。どちらの流儀でも、強度で書いた最終の式は同じになる。

第二高調波の効率は、授業では

$$\eta=\frac{I_{2\omega}}{I_\omega}=\frac{2\omega^2d_{\mathrm{eff}}^2L^2}{n_\omega^2n_{2\omega}c^3\varepsilon_0}I_\omega\,\mathrm{sinc}^2\Bigl(\frac{\Delta kL}{2}\Bigr)$$

の形で習う。式 (17.10) に $\chi^{(2)}=2d_{\mathrm{eff}}$ を入れたものと同じである。コヒーレンス長 $L_{\mathrm c}=\lambda/(4\lvert n_{2\omega}-n_\omega\rvert )$ と位相整合の条件 $n_{2\omega}=n_\omega$ も同じ形で習う。光 Kerr 効果の $n=n_0+n_2I$、$n_2=3\chi^{(3)}/(4n_0^2c\varepsilon_0)$ は流儀に依らず、強度で書いた式 (17.15) と一致する。この章では、これらの式を非調和振動子と結合波方程式という2つの道具から出し、$d$ の大きさの見積もり（$\chi^{(1)}/E_{\mathrm{at}}$）、反転対称性、光子の数の保存（Manley–Rowe）、摂動の破れ（高次高調波）までを1本の筋に並べた。