この章のまとめ

(1) $\lambda=1.064\,\mu\mathrm m$ で $n_\omega^2=1+3.6\times1.1321/(1.1321-0.04)=4.732$、$n_\omega=2.1753$。$\lambda=0.532\,\mu\mathrm m$ で $n_{2\omega}^2=5.193$、$n_{2\omega}=2.2787$。式 (17.11) から $L_{\mathrm c}=1.064/(4\times0.1034)=2.57\,\mu\mathrm m$、$\Lambda=2L_{\mathrm c}=5.14\,\mu\mathrm m$。紫外の共鳴が近いので分散が大きく、$L_{\mathrm c}$ は数 $\mu\mathrm m$ になる。

(2) $z_{\mathrm R}=5\,\mathrm{mm}$ から $w_0=\sqrt{\lambda z_{\mathrm R}/(\pi n_\omega)}=\sqrt{1.064\times10^{-6}\times5\times10^{-3}/(\pi\times2.1753)}=27.9\,\mu\mathrm m$。中心の強度は $2\times1/(\pi\times(27.9\times10^{-6})^2)=8.18\times10^8\,\mathrm{W\,m^{-2}}=81.8\,\mathrm{kW\,cm^{-2}}$。

(3) 式 (17.10) を $I_{2\omega}=CL^2I_\omega^2$、$C=\omega^2(\chi^{(2)}_{\mathrm{eff}})^2/(2n_\omega^2n_{2\omega}c^3\varepsilon_0)$ と書く。Gauss 型の断面 $I_\omega=(2P_\omega/(\pi w_0^2))\mathrm{e}^{-2r^2/w_0^2}$ では $\int I_\omega^2\,2\pi r\,\mathrm{d} r=P_\omega^2/(\pi w_0^2)$ なので、

$$P_{2\omega}=\frac{CL^2P_\omega^2}{\pi w_0^2}.$$

$\chi^{(2)}_{\mathrm{eff}}=(2/\pi)\times50=31.8\,\mathrm{pm\,V^{-1}}$、$\omega=1.770\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$ を入れて $P_{2\omega}=25.2\,\mathrm{mW}$、効率 $2.5\%$。第二高調波の断面は基本波の2乗なので半径が $1/\sqrt2$ に細くなる。

(4) 緑の光子のエネルギーは $\hbar\cdot2\omega=3.73\times10^{-19}\,\mathrm J$ なので、毎秒 $0.0252/3.73\times10^{-19}=6.76\times10^{16}$ 個生まれる。Manley–Rowe の関係から、基本波の光子はその2倍の $1.35\times10^{17}$ 個が毎秒使われる（基本波の光子は毎秒 $5.36\times10^{18}$ 個入る）。効率 $\eta=0.025$ に対し、札の相対誤差 $\frac23\eta$ は $1.7\%$ なので、基本波の減らない近似は使える。

(5) $z_{\mathrm R}=L/2$ を保つと $w_0^2=\lambda L/(2\pi n_\omega)$ は $L$ に比例するので、$P_{2\omega}=CL^2P_\omega^2/(\pi w_0^2)=2n_\omega CLP_\omega^2/\lambda$ は $L$ に比例し、$2$ 倍の $50.5\,\mathrm{mW}$ になる。平面波では長さを2倍にすると $4$ 倍になるが、集光したビームでは長い結晶ほど Rayleigh 長を長く取るためにビームを太くしなければならず、強度が $1/L$ で下がる分だけ得が減る。回折（第4章）があるので、集光で強度を上げることと相互作用の長さを長く取ることは両立しない。