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この章のまとめ

2026年10月15日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第2章 ゆらぎの定理

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第2章 §4.2.7　★★★ Σ=ln⁡(P/P~)\Sigma=\ln(P/\tilde P) の指数平均が 1。初めと終わりを平衡分布にとれば Σ=β(W−ΔF)\Sigma=\beta(W-\Delta F) で、Crooks と Jarzynski になる

この章で比べた2つの分布は、前向きの操作での経路の確率 P[Γ]P[\Gamma] と、逆回しの操作で同じ経路を逆にたどる確率 P~[Γ~]\tilde P[\tilde\Gamma] である。熱浴が局所詳細つり合いを満たすなら、両者の比は熱だけで e−βQ\mathrm{e}^{-\beta Q} と書ける（定理 4.2.2）。当てた DD の性質は、非負性そのものではなく、その手前の等式 ⟨e−Σ⟩P=1\langle \mathrm{e}^{-\Sigma} \rangle _P=1 である（定理 4.2.3）。P~\tilde P が規格化されていることだけから出るこの等式は、Jensen の不等式を当てると ⟨Σ⟩=D(P ∥ P~)≥0\langle \Sigma \rangle =D(P\,\|\,\tilde P)\ge0 になり、Markov の不等式を当てると負のゆらぎの確率の上界になり、Σ\Sigma の値ごとに分けると詳細ゆらぎの定理になる。

出てきたものは3つである。逆回しの初めの分布を平衡分布にとると Σ=β(W−ΔF)\Sigma=\beta(W-\Delta F) になり、仕事の分布について Crooks の定理 PF(W)/PR(−W)=eβ(W−ΔF)P_{\mathrm F}(W)/P_{\mathrm R}(-W)=\mathrm{e}^{\beta(W-\Delta F)} が成り立つ。平均の散逸仕事は2つの仕事の分布の相対エントロピーに kBTk_{\mathrm B} T を掛けたものである。Crooks の定理を積分すると Jarzynski 等式 ⟨e−βW⟩=e−βΔF\langle \mathrm{e}^{-\beta W} \rangle =\mathrm{e}^{-\beta\Delta F} になり、非平衡の操作の仕事から平衡の自由エネルギー差が読める。ただし平均を決めるのは稀な経路で、必要な試行の回数は散逸仕事の指数で増える。λ\lambda を止めて非保存力で駆動する系では、熱浴に捨てた熱の分布が P(Σ)/P(−Σ)=eΣP(\Sigma)/P(-\Sigma)=\mathrm{e}^\Sigma を満たす。授業で習う最大仕事の原理はこれらの平均、詳細つり合いは Σ≡0\Sigma\equiv0 の場合、Einstein の関係は2次の展開にあたる。

平均 ⟨Σ⟩=D(P ∥ P~)\langle \Sigma \rangle =D(P\,\|\,\tilde P) をエントロピー生成の定義として採り、それが系と熱浴の相関や粗視化とどう関係するかは、次の章 第4部第3章 で扱う。測定とフィードバックを含めると、Jarzynski 等式の右辺に相互情報量が加わる。それは 第4部第4章 の沙川–上田の等式である。

要点

  • 局所詳細つり合い Kλ(y ∣ x)/Kλ(x ∣ y)=e−β[Ey−Ex]K_\lambda(y\,|\,x)/K_\lambda(x\,|\,y)=\mathrm{e}^{-\beta[E_y-E_x]} のもとで P[Γ ∣ x0]/P~[Γ~ ∣ xN]=e−βQ[Γ]P[\Gamma\,|\,x_0]/\tilde P[\tilde\Gamma\,|\,x_N]=\mathrm{e}^{-\beta Q[\Gamma]}。
  • Σ≔ln⁡(P[Γ]/P~[Γ~])\Sigma\coloneqq\ln(P[\Gamma]/\tilde P[\tilde\Gamma]) について ⟨e−Σ⟩=1\langle \mathrm{e}^{-\Sigma} \rangle =1、⟨Σ⟩=D(P ∥ P~)≥0\langle \Sigma \rangle =D(P\,\|\,\tilde P)\ge0、Pr⁡(Σ≤−a)≤e−a\Pr(\Sigma\le-a)\le\mathrm{e}^{-a}、P(Σ=s)/P~(Σ~=−s)=esP(\Sigma=s)/\tilde P(\tilde\Sigma=-s)=\mathrm{e}^s。
  • 平衡分布から始めると Σ=β(W−ΔF)\Sigma=\beta(W-\Delta F)。Crooks：PF(W)/PR(−W)=eβ(W−ΔF)P_{\mathrm F}(W)/P_{\mathrm R}(-W)=\mathrm{e}^{\beta(W-\Delta F)}。Jarzynski：⟨e−βW⟩=e−βΔF\langle \mathrm{e}^{-\beta W} \rangle =\mathrm{e}^{-\beta\Delta F}。
  • 正規分布なら ΔF=⟨W⟩−βσW2/2\Delta F=\langle W \rangle -\beta\sigma_W^2/2。散逸仕事 =kBT D(PF ∥ P~R)= k_{\mathrm B} T\,D(P_{\mathrm F}\,\|\,\tilde P_{\mathrm R})。
  • 定常状態：P(n,t)/P(−n,t)=eβfa nP(n,t)/P(-n,t)=\mathrm{e}^{\beta fa\,n}（並進対称な乱歩では全時刻、一般には長い時間の極限）。

総合問題　1ビットの準位を持ち上げる ★★★

オリジナル状態 x∈{0,1}x\in\{0,1\} のエネルギーを E0=0E_0=0、E1(λ)=λE_1(\lambda)=\lambda とする。λ\lambda を 00 から ε\varepsilon まで NN 歩で等間隔に上げる（λn=nε/N\lambda_n=n\varepsilon /N）。各歩の熱浴との遷移では系は完全に緩和する：Kλ(y ∣ x)=pλeq(y)K_\lambda(y\,|\,x)=p^{\mathrm{eq}}_\lambda(y)。初めは p0eq=(1/2,1/2)p^{\mathrm{eq}}_0=(1/2,1/2) とし、βε=2\beta\varepsilon =2 とする。q(λ)≔pλeq(1)=1/(1+eβλ)q(\lambda)\coloneqq p^{\mathrm{eq}}_\lambda(1)=1/(1+\mathrm{e}^{\beta\lambda}) と書く。

  1. (1) N=1N=1 のとき、前向きの仕事の分布 PF(W)P_{\mathrm F}(W) と、逆回し（pεeqp^{\mathrm{eq}}_{\varepsilon } から始めて遷移してから λ\lambda を 00 に戻す）の仕事の分布 PR(W)P_{\mathrm R}(W) を求め、Jarzynski 等式と Crooks の定理を確かめよ。（使う道具：4.2.1 節・4.2.3 節・4.2.4 節、仕事と熱の割り当ては 第4部第1章）
  2. (2) 一般の NN で W=εN∑n=0N−1xnW=\frac{\varepsilon }{N}\sum_{n=0}^{N-1}x_n と書けて、x0,…,xN−1x_0,\dots,x_{N-1} が独立で xnx_n が確率 q(λn)q(\lambda_n) で 11 になることを示せ。これを使って Jarzynski 等式を示し、N=1,2,4N=1,2,4 の β⟨W⟩\beta\langle W \rangle と βWdiss\beta W_{\mathrm{diss}} を求めよ。N→∞N\to\infty で ⟨W⟩→ΔF\langle W \rangle \to\Delta F となること、NWdissNW_{\mathrm{diss}} の極限を求めよ。（使う道具：4.2.4 節、準静的な操作で取り出せる仕事は 第2部第2章）
  3. (3) N=1N=1 で D(PF ∥ P~R)D(P_{\mathrm F}\,\|\,\tilde P_{\mathrm R}) を直接計算し、β(⟨W⟩−ΔF)\beta(\langle W \rangle -\Delta F) に等しいことを確かめよ。（使う道具：4.2.3 節、第1部第3章）
  4. (4) N=1N=1 で W<ΔFW<\Delta F となる確率を求め、上界 (4.2.22) と比べよ。（使う道具：4.2.2 節・4.2.4 節）
  5. (5) 正規分布の近似 ΔF≈⟨W⟩−βσW2/2\Delta F\approx\langle W \rangle -\beta\sigma_W^2/2 を N=1N=1 と N=4N=4 で計算し、厳密な値と比べよ。（使う道具：4.2.6 節）
解答

(1) Z(λ)=1+e−βλZ(\lambda)=1+\mathrm{e}^{-\beta\lambda} なので βΔF=−ln⁡1+e−22=0.566\beta\Delta F=-\ln\frac{1+\mathrm{e}^{-2}}{2}=0.566 である。N=1N=1 の前向きでは、初めの状態 x0x_0 のまま λ\lambda を 00 から ε\varepsilon に上げるので W=εx0W=\varepsilon x_0 で、PF(0)=PF(ε)=12P_{\mathrm F}(0)=P_{\mathrm F}(\varepsilon )=\frac12。⟨e−βW⟩=12(1+e−2)=e−βΔF\langle \mathrm{e}^{-\beta W} \rangle =\frac12(1+\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}^{-\beta\Delta F} で、Jarzynski 等式が成り立つ。逆回しは pεeqp^{\mathrm{eq}}_{\varepsilon } から始め、遷移しても分布は pεeqp^{\mathrm{eq}}_{\varepsilon } のままで、そのあと λ\lambda を 00 に下げるので W~=−εx\tilde W=-\varepsilon x。PR(−ε)=q(ε)=e−2/(1+e−2)=0.119P_{\mathrm R}(-\varepsilon )=q(\varepsilon )=\mathrm{e}^{-2}/(1+\mathrm{e}^{-2})=0.119、PR(0)=0.881P_{\mathrm R}(0)=0.881 である。Crooks の比は

PF(ε)PR(−ε)=1+e−22e−2=e2⋅1+e−22=eβ(ε−ΔF),PF(0)PR(0)=1+e−22=e−βΔF\frac{P_{\mathrm F}(\varepsilon )}{P_{\mathrm R}(-\varepsilon )}=\frac{1+\mathrm{e}^{-2}}{2\mathrm{e}^{-2}}=\mathrm{e}^{2}\cdot\frac{1+\mathrm{e}^{-2}}{2}=\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon -\Delta F)},\qquad \frac{P_{\mathrm F}(0)}{P_{\mathrm R}(0)}=\frac{1+\mathrm{e}^{-2}}{2}=\mathrm{e}^{-\beta\Delta F}

で、2つの値の両方で式 (4.2.17) が成り立つ。

(2) nn 歩目の仕事は xn−1x_{n-1} のまま λ\lambda を ε/N\varepsilon /N 上げる分 εNxn−1\frac{\varepsilon }{N}x_{n-1} なので、和は W=εN∑n=0N−1xnW=\frac{\varepsilon } N\sum_{n=0}^{N-1}x_n である。x0x_0 は p0eqp^{\mathrm{eq}}_0 に従い、n≥1n\ge1 では xnx_n は λn\lambda_n のもとで完全に緩和した直後の状態なので、前の状態によらず pλneqp^{\mathrm{eq}}_{\lambda_n} に従う。したがって xnx_n は独立で、Pr⁡(xn=1)=q(λn)\Pr(x_n=1)=q(\lambda_n) である。独立なので指数平均は積に分かれ、

⟨e−βW⟩=∏n=0N−1[1−q(λn)+q(λn)e−βε/N]=∏n=0N−11+e−βλn+11+e−βλn=Z(ε)Z(0)=e−βΔF\langle \mathrm{e}^{-\beta W} \rangle =\prod_{n=0}^{N-1}\bigl[1-q(\lambda_n)+q(\lambda_n)\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon /N}\bigr]=\prod_{n=0}^{N-1}\frac{1+\mathrm{e}^{-\beta\lambda_{n+1}}}{1+\mathrm{e}^{-\beta\lambda_n}}=\frac{Z(\varepsilon )}{Z(0)}=\mathrm{e}^{-\beta\Delta F}

となる（積は隣どうしで打ち消し合う）。平均は β⟨W⟩=βεN∑n=0N−1q(λn)\beta\langle W \rangle =\frac{\beta\varepsilon }{N}\sum_{n=0}^{N-1}q(\lambda_n) で、N=1,2,4N=1,2,4 で 1.0001.000、0.7690.769、0.6640.664、散逸は βWdiss=0.434\beta W_{\mathrm{diss}}=0.434、0.2030.203、0.0980.098 である。dFdλ=⟨∂λE⟩eq=q(λ)\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} \lambda}=\langle \partial_\lambda E \rangle _{\mathrm{eq}}=q(\lambda) なので ΔF=∫0εq(λ) dλ\Delta F=\int_0^{\varepsilon } q(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda で、⟨W⟩\langle W \rangle はこの積分の左端の値での Riemann 和である。N→∞N\to\infty で ⟨W⟩→ΔF\langle W \rangle \to\Delta F となり、準静的な操作で仕事は自由エネルギー差に等しくなる。qq は減少関数なので左端の Riemann 和は積分を上回り、その差は台形の公式からWdiss≈ε2N[q(0)−q(ε)]W_{\mathrm{diss}}\approx\frac{\varepsilon }{2N}[q(0)-q(\varepsilon )]、すなわち NβWdiss→βε2[q(0)−q(ε)]=0.381N\beta W_{\mathrm{diss}}\to\frac{\beta\varepsilon }{2}[q(0)-q(\varepsilon )]=0.381 である。散逸は歩数に反比例して減る。

(3) D(PF ∥ P~R)=12ln⁡1/20.881+12ln⁡1/20.119=0.434D(P_{\mathrm F}\,\|\,\tilde P_{\mathrm R})=\frac12\ln\frac{1/2}{0.881}+\frac12\ln\frac{1/2}{0.119}=0.434 で、(2) の N=1N=1 の βWdiss=1−0.566=0.434\beta W_{\mathrm{diss}}=1-0.566=0.434 に一致する。仕事の値を1回見て前向きか逆回しかを当てる手がかりが、散逸仕事に等しい。

(4) WW は 00 か ε=2kBT\varepsilon =2 k_{\mathrm B} T で、W<ΔF=0.566 kBTW<\Delta F=0.566\, k_{\mathrm B} T となるのは W=0W=0 のとき、確率は 12\frac12 である。上界 (4.2.22) を a=ΔFa=\Delta F（W≤0W\le0）に当てると e−βΔF=0.568\mathrm{e}^{-\beta\Delta F}=0.568 で、12≤0.568\frac12\le0.568 が成り立つ。上界はほぼ等号に近い。試行の半分で、系は自由エネルギー差を下回る仕事（ここでは仕事 00）で準位を持ち上げている。

(5) β2σW2=(βεN)2∑nq(λn)[1−q(λn)]\beta^2\sigma_W^2=\bigl(\frac{\beta\varepsilon }N\bigr)^2\sum_n q(\lambda_n)[1-q(\lambda_n)] で、N=1N=1 では 11、N=4N=4 では 0.2080.208 である。正規分布の近似は N=1N=1 で 1−0.5=0.51-0.5=0.5、N=4N=4 で 0.664−0.104=0.5610.664-0.104=0.561 を与え、厳密な βΔF=0.566\beta\Delta F=0.566 と比べると、N=1N=1 では 0.0660.066 ずれ、N=4N=4 では 0.0050.005 しかずれない。N=1N=1 の WW は2つの値しかとらず、3次以上のキュムラントが残るからである。歩数を増やすと WW は多数の独立な項の和になって正規分布に近づき、同時に散逸も分散も 1/N1/N で小さくなるので、式 (4.2.30) の揺動散逸の関係が成り立つ範囲に入る。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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