出てくるもの3：2次元ではギャップが重なる

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第5章 §2.5.4　★★ 2次元以上では境界ごとのギャップがエネルギーの上でずれて重なり、全体のギャップが閉じることがある。弱い周期ポテンシャルの多価金属が金属のまま残る理由

正方格子の X 点と M 点

2次元の正方格子（格子定数 $a$、逆格子ベクトル $\bm{G}=\frac{2\pi}{a}(n_1,n_2)$）に話を広げる。ポテンシャルの Fourier 成分のうち、最も短い $\bm{G}=\frac{2\pi}{a}(\pm1,0),\frac{2\pi}{a}(0,\pm1)$ の成分を $V_1$、その次の $\frac{2\pi}{a}(\pm1,\pm1)$ の成分を $V_2$ とし（正方形の対称性から同じ長さの成分は等しい）、他を $0$ とする。中心方程式 (2.5.6) はそのまま2次元で成り立つ。

Brillouin 域は正方形 $\lvert k_x\rvert ,\lvert k_y\rvert \le\pi/a$ で、辺の中点 X$=(\pi/a,0)$ と頂点 M$=(\pi/a,\pi/a)$ を考える。X 点では平面波 $(\pi/a,0)$ と $(-\pi/a,0)$ がエネルギー $\varepsilon _{\mathrm X}$ で縮退し、それらを結ぶのは $V_1$ だけなので、1次元と同じ $2\times2$ の問題になって $\varepsilon _{\mathrm X}\pm\lvert V_1\rvert$ に分かれる。M 点では4つの平面波 $\frac{\pi}{a}(\pm1,\pm1)$ がエネルギー $2\varepsilon _{\mathrm X}$ で縮退する。平面波を $\frac{\pi}{a}(1,1),\frac{\pi}{a}(-1,1),\frac{\pi}{a}(1,-1),\frac{\pi}{a}(-1,-1)$ の順に並べると、隣り合う角どうしは $V_1$、対角の角どうしは $V_2$ で結ばれ、

$$H=2\varepsilon _{\mathrm X}\,\mathbb{1}+\begin{pmatrix}0&V_1&V_1&V_2\\ V_1&0&V_2&V_1\\ V_1&V_2&0&V_1\\ V_2&V_1&V_1&0\end{pmatrix}\tag{2.5.17}$$

となる（$\mathbb 1$ は単位行列）。固有ベクトルは $(1,1,1,1)$・$(1,-1,-1,1)$・$(1,1,-1,-1)$・$(1,-1,1,-1)$ で、固有値は

$$2\varepsilon _{\mathrm X}+2V_1+V_2,\qquad 2\varepsilon _{\mathrm X}-2V_1+V_2,\qquad 2\varepsilon _{\mathrm X}-V_2\ (\text{2重})\tag{2.5.18}$$

である。

ギャップが重なる条件

第1のバンドの最も高い所と、第2のバンドの最も低い所を比べる。$V_1,V_2<0$（引力のイオン）なら、第1のバンドの最大は M 点の最も低い準位 $2\varepsilon _{\mathrm X}+2V_1+V_2=2\varepsilon _{\mathrm X}-2\lvert V_1\rvert -\lvert V_2\rvert$ で、第2のバンドの最小は X 点の上の端 $\varepsilon _{\mathrm X}+\lvert V_1\rvert$ である。後者が前者より低ければ、X 点の近くの第2のバンドが M 点の近くの第1のバンドより下にあり、2つのバンドはエネルギーの上で重なる。どの方向で見てもギャップは開いているのに、全体としてはどのエネルギーにも状態がある。重なりが消える（全体のギャップが開く）のは $\varepsilon _{\mathrm X}+\lvert V_1\rvert >2\varepsilon _{\mathrm X}-2\lvert V_1\rvert -\lvert V_2\rvert$、つまり

$$3\lvert V_1\rvert +\lvert V_2\rvert >\varepsilon _{\mathrm X}\tag{2.5.19}$$

のときである。ポテンシャルが弱い（NFE が当たる）ほどこの条件は満たされず、バンドは重なったままになる。

この結果が物理として意味を持つのは、電子の数と組み合わせたときである。単位胞あたり電子が2個（2価）なら、第1のバンドをちょうど埋める数である。1次元なら、第1のバンドが埋まって第2のバンドとの間にギャップがあるので絶縁体になる。ところが2次元で重なりがあると、電子は第1のバンドの M 点の近くを空けて、第2のバンドの X 点の近くに入る方がエネルギーが低い。両方のバンドが部分的に埋まり、金属になる。自由電子で言えば、2価の正方格子の Fermi 円の半径 $k_{\mathrm F}$ は $\pi k_{\mathrm F}^2=(2\pi/a)^2$ から $k_{\mathrm F}a=2\sqrt\pi=3.54$ で、X 点（$\pi$）より遠く M 点（$\sqrt2\pi=4.44$）より近い。Fermi 円が Brillouin 域の境界をはみ出し、角の部分は第1の域に残らず、第2の域にはみ出した部分の状態が埋まる。2価の Be・Mg・Ca や3価の Al が金属であるのは、3次元で同じことが起きているからである。何がギャップを閉じるかの完全な議論（バンドの埋まり方と Fermi 面）は第2部第7章で扱う。

数学の側では、2次元以上の周期ポテンシャルのスペクトルのギャップは有限個しかない、という主張が Bethe–Sommerfeld 予想として知られ、滑らかな周期ポテンシャルについて任意の次元 $d\ge2$・任意の格子で証明されている（L. Parnovski 2008、Ann. Henri Poincaré 9、457）。エネルギーが高くなると、自由電子の等エネルギー面は多くの境界を同時に横切り、境界ごとのギャップ $2\lvert V_{\bm{G}}\rvert$ は高い $\bm{G}$ ほど小さくなるので、どこかの方向で必ずギャップが埋まる。1次元では等エネルギー面が2点しかなく、ギャップを別の方向で埋める状態が無いので、一般の周期ポテンシャルではギャップは無限個開く。

図 2.5.4　2次元の正方格子（$V_1=V_2=-0.1\varepsilon _{\mathrm X}$）のバンドを Γ–X–M–Γ に沿って描いたもの（点線は平面波81本の数値の対角化）。X 点と M 点の両方でギャップが開いているが、第1のバンドの最大（M 点、$1.69\varepsilon _{\mathrm X}$）が第2のバンドの最小（X 点、$1.10\varepsilon _{\mathrm X}$）より高いので、全体としてはギャップが無い。