有限の変換：括弧を重ねた級数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第11章 §1.11.4　★★ 無限小の変換を積み重ねた有限の変換は、$A+\epsilon\{A,G\}+\frac{\epsilon^2}{2!}\{\{A,G\},G\}+\cdots$ の級数（Lie 級数）で書ける

流れと Lie 級数

無限小変換 (1.11.1) を、$\epsilon$ を小さく刻んで何回も繰り返すと、有限の大きさの変換になる。これは連立微分方程式

$$\frac{\mathrm{d} q_i}{\mathrm{d} s}=\frac{\partial G}{\partial p_i},\qquad \frac{\mathrm{d} p_i}{\mathrm{d} s}=-\frac{\partial G}{\partial q_i}\tag{1.11.14}$$

をパラメータ $s$ について $0$ から $\epsilon$ まで解くことと同じである。$G=H$, $s=t$ ならこれは Hamilton 方程式そのものになる。初期点 $x=(q,p)$ から出た解の $s=\epsilon$ での点を $\Phi^G_\epsilon(x)$ と書き、$G$ の流れと呼ぶ。図 1.11.1 の線は、この流れの軌道である。

関数 $A$ の値が流れに沿ってどう変わるかを、$\epsilon$ の級数で表す。

この命題は、第1部第9章の式 (1.9.9)（配置空間の向き $\mathcal K$ の Lie 級数）を、相空間の流れの微分演算子 $\mathsf D_G$ に当てたものである。

証明

$a(s)\coloneqq A(\Phi^G_s(x))$ とおく。式 (1.11.14) と連鎖律から、$a'(s)$ は $\{A,G\}$ を点 $\Phi^G_s(x)$ で評価したものになる。$\{A,G\}$ も相空間の関数なので、同じ議論をくり返すと $a^{(n)}(s)=(\mathsf D_G^{\,n}A)(\Phi^G_s(x))$ を得る。解析的な右辺を持つ常微分方程式の解は $s$ について解析的なので、$a(s)$ は $s=0$ のまわりで Taylor 級数に展開でき、$s=0$ での係数が $a^{(n)}(0)=(\mathsf D_G^{\,n}A)(x)$ である。

形式的には、式 (1.11.15) は $A(\Phi^G_\epsilon)=\mathrm{e}^{\epsilon\mathsf D_G}A$ と書くことができる。無限小変換 $\delta A=\epsilon\mathsf D_GA$ を指数関数にしたものが有限の変換になる。この形は 1.11.6節で、量子力学のユニタリ演算子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar}$ と並べる。

回転と調和振動子

回転の生成子 $L_z$ で $x$ を動かす。$\mathsf D_{L_z}x=\{x,L_z\}=-y$, $\mathsf D_{L_z}y=\{y,L_z\}=x$ なので、$\mathsf D_{L_z}$ を当てるたびに$x\to-y\to-x\to y\to x$ と4回で元に戻る。式 (1.11.15) の偶数番目の項と奇数番目の項を分けて足すと

$$x\bigl(\Phi^{L_z}_\theta\bigr)=x\Bigl(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\Bigr)-y\Bigl(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\cdots\Bigr)=x\cos\theta-y\sin\theta$$

となる。同じく $y(\Phi^{L_z}_\theta)=x\sin\theta+y\cos\theta$ で、反時計回りの角度 $\theta$ の回転が出る。無限小の回転の生成子を級数にすると、有限の角度の回転の行列が出る。

調和振動子 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2$ の時間発展も同じ形になる。$\mathsf D_Hq=\{q,H\}=p/m$, $\mathsf D_Hp=\{p,H\}=-m\omega^2q$ から$\mathsf D_H^2q=-\omega^2q$ なので、偶数番目と奇数番目を分けて足すと

$$q(t)=q\cos\omega t+\frac{p}{m\omega}\sin\omega t\tag{1.11.16}$$

を得る（右辺の $q,p$ は時刻 $0$ の値）。運動方程式を解かずに、括弧を重ねるだけで解が出た。

級数を有限の項で打ち切ると、短い時間では解をよく近似するが、時間が長くなると外れる。図 1.11.2 は $q=1$, $p=0$ のときの打ち切りを比べたもので、打ち切る次数を上げるほど $\cos\omega t$ に重なる範囲が延びる（$\omega t=\pi/2$ での誤差は、2次まで・4次まで・8次までで $0.23$, $0.020$, $2.5\times10^{-5}$）。冪級数としては、この例は任意の $t$ で収束する。