無限小変換を重ねて有限の変換に戻す

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第9章 §1.9.2　★★★ 向き $K$ が分かれば、微分方程式 $\mathrm{d} q/\mathrm{d}\alpha=K(q)$ を解いて変換の族全体が決まる

合成の規則から出る微分方程式

前の節では1径数変換群 $\Phi_\alpha$ から向き $K$ を取り出した。逆に $K$ から $\Phi_\alpha$ を復元できることを示す。合成の規則 (1.9.2) で $\beta=\alpha$, $\alpha=\epsilon$ とおくと $\Phi_{\alpha+\epsilon}(q)=\Phi_\epsilon\bigl(\Phi_\alpha(q)\bigr)$ で、右辺は点 $\Phi_\alpha(q)$ に無限小変換を施したものなので

$$\Phi_{\alpha+\epsilon}(q)=\Phi_\alpha(q)+\epsilon K\bigl(\Phi_\alpha(q)\bigr)+\mathcal{O}(\epsilon^2)$$

となる。両辺から $\Phi_\alpha(q)$ を引いて $\epsilon$ で割り、$\epsilon\to0$ とすると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha}\Phi_\alpha(q)=K\bigl(\Phi_\alpha(q)\bigr),\qquad \Phi_0(q)=q\tag{1.9.5}$$

を得る。これは $Q(\alpha)\coloneqq\Phi_\alpha(q)$ についての1階の常微分方程式 $\mathrm{d} Q/\mathrm{d}\alpha=K(Q)$ と初期条件 $Q(0)=q$ で、$K$ が滑らかなら、解は初期値ごとにただ1つに決まる（常微分方程式の解の存在と一意性）。したがって、1径数変換群は向き $K$ だけで決まる。変換の族を調べるには、各点で1つのベクトル $K(q)$ を調べれば足りる。

方程式 (1.9.5) の解を、パラメータ $\alpha$ を「時間」とみたときの流れと考えて、$\Phi_\alpha$ を $K$ の流れと呼ぶ。時間発展では $\alpha$ は本当の時間で、$K$ は状態の速度である。回転では $\alpha$ は角度で、$K=(-y,x)$ を解くと $Q(\alpha)$ は円を描く。

線形の場合：指数関数

$K$ が座標の1次式 $K(q)=Aq$（$A$ は $f\times f$ の定数行列）のとき、方程式 (1.9.5) の解は行列の指数関数で書くことができる。

$$\Phi_\alpha(q)=\mathrm{e}^{\alpha A}q,\qquad \mathrm{e}^{\alpha A}\coloneqq\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^n}{n!}A^n=\lim_{N\to\infty}\Bigl(1+\frac{\alpha}{N}A\Bigr)^N .\tag{1.9.6}$$

右の極限の形は、角 $\alpha$ を $N$ 等分し、1回あたり $\epsilon=\alpha/N$ の無限小変換 $q\to q+\epsilon Aq$ を $N$ 回重ねることを表す。回転では $A=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right)$ で、$A^2=-1$（$-1$ は単位行列の $-1$ 倍）なので、級数を偶数次と奇数次に分けて

$$\mathrm{e}^{\alpha A}=\Bigl(1-\frac{\alpha^2}{2!}+\frac{\alpha^4}{4!}-\cdots\Bigr)+A\Bigl(\alpha-\frac{\alpha^3}{3!}+\cdots\Bigr)=\cos\alpha+A\sin\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\tag{1.9.7}$$

となり、回転行列 (1.9.1) が戻る。

$N$ 回重ねる形を有限の $N$ で止めると何が起こるかを、図 1.9.1 で見る。点 $(1,0)$ を角 $\pi/2$ だけ回すのに、$q\to q+\epsilon Aq$（$\epsilon=\pi/(2N)$）を $N$ 回施す。1回ごとに半径は $\sqrt{1+\epsilon^2}$ 倍になるので、$N$ 回後の半径は $(1+\epsilon^2)^{N/2}$ である。$N=4$ で $1.332$、$N=12$ で $1.107$、$N=100$ で $1.0124$ になり、$N\to\infty$ で $1$ に近づく。$N$ が大きいとき $(1+\epsilon^2)^{N/2}=\exp\bigl(\tfrac N2\ln(1+\epsilon^2)\bigr)\approx1+\frac{N\epsilon^2}{2}=1+\frac{\alpha^2}{2N}$ で、半径の誤差は $\alpha^2/(2N)$ のように $1/N$ で減る（$N=100$ で $0.0123$）。1回あたりの誤差が $\epsilon^2$ の大きさで、それを $N=\alpha/\epsilon$ 回重ねても全体の誤差は $\alpha\epsilon$ の大きさにとどまる。無限小変換で1次の変化だけを正しく取れば有限の変換が正しく戻るのは、このためである。

関数の変化：Taylor 展開の一般化

点を動かしたとき、点の上の関数 $F(q)$ がどう変わるかも向き $K$ で書くことができる。連鎖律と式 (1.9.5) から

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha}F\bigl(\Phi_\alpha(q)\bigr)=\sum_{i=1}^f K_i\frac{\partial F}{\partial q_i}\Big|_{\Phi_\alpha(q)}=(\mathcal KF)\bigl(\Phi_\alpha(q)\bigr),\qquad \mathcal K\coloneqq\sum_{i=1}^fK_i(q)\frac{\partial }{\partial q_i}\tag{1.9.8}$$

となる。微分演算子 $\mathcal K$ は「$K$ の向きに沿った方向微分」で、無限小変換による $F$ の1次の変化は $\delta F=\epsilon\,\mathcal KF$ である。式 (1.9.8) を繰り返すと $\frac{\mathrm{d} ^n}{\mathrm{d} \alpha^n}F(\Phi_\alpha(q))\big|_{\alpha=0}=(\mathcal K^nF)(q)$ なので、$\alpha$ について Taylor 展開して

$$F\bigl(\Phi_\alpha(q)\bigr)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^n}{n!}(\mathcal K^nF)(q)=\bigl(\mathrm{e}^{\alpha\mathcal K}F\bigr)(q)\tag{1.9.9}$$

を得る（級数が収束する範囲で）。並進 $K=1$ では $\mathcal K=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ で、式 (1.9.9) は普通の Taylor 展開$F(x+\alpha)=\sum_n\frac{\alpha^n}{n!}F^{(n)}(x)=\mathrm{e}^{\alpha\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x}F(x)$ になる。Taylor 展開は「並進という変換を、その無限小変換 $\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ の指数関数で書いたもの」と読み直すことができる。この読み方は1.9.5節で量子力学の並進の演算子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$ を読むときにそのまま使う。