情報の側から見ると：Heisenberg 限界の測定

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第6部 第2章 §6.2.5　★★★ 位相推定は周波数が $1/T$ ずつ違う直交する状態を見分ける測定で、量子 Fisher 情報は $T^2$ に比例する。情報量は $t$ ビットで頭打ちになる

比べる状態：周波数の違う波

補助の量子ビットの状態 $| \psi_\varphi \rangle$ (6.2.7) どうしの重なりは

$$\lvert \langle \psi_{\varphi'} | \psi_\varphi \rangle \rvert ^2=\frac{\sin^2(\pi T(\varphi-\varphi'))}{T^2\sin^2(\pi(\varphi-\varphi'))}\tag{6.2.10}$$

で、出力の分布 (6.2.8) はこの重なりで $\varphi'=m/T$ と置いたものに等しい。すなわち逆 QFT と計算基底の測定は、$T$ 個の状態 $| \psi_{0} \rangle ,| \psi_{1/T} \rangle ,\dots,| \psi_{(T-1)/T} \rangle$ の基底で測ることである。重なりは $\varphi-\varphi'$ が $1/T$ の整数倍で $0$ になるので、この $T$ 個は互いに直交し、1回の測定で誤りなく見分けることができる。第3部第8章の言葉では、純粋状態の対の Helstrom の誤り確率は重なりで決まり、直交すれば $0$ になる。位相推定は、$\hat U$ を $T-1$ 回使って、位相が $1/T$ ずつ違う $T$ 通りの仮説を完全に見分けられる状態を作る手続きである。

量子 Fisher 情報

近い2つの位相の見分けやすさは量子 Fisher 情報 $J_{\mathrm Q}$ で測る。純粋状態の族 $| \psi_\varphi \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi\hat G}| \psi_0 \rangle$ では $J_{\mathrm Q}=4(\Delta G)^2$ で（第3部第8章）、ここでは生成子が $\hat G=2\pi\hat k$（$\hat k| k \rangle =k| k \rangle$）、分布は $k$ について一様なので $(\Delta k)^2=(T^2-1)/12$。よって

$$J_{\mathrm Q}(\varphi)=\frac{4\pi^2}{3}(T^2-1),\qquad\Delta\varphi\ge\frac1{\sqrt{J_{\mathrm Q}}}=\frac{\sqrt3}{\pi\sqrt{T^2-1}}\approx\frac{0.551}{T}.\tag{6.2.11}$$

同じ $T-1$ 回の $\hat U$ を、1回ずつ別々の補助の量子ビットに使った場合（$(| 0 \rangle +\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi}| 1 \rangle )/\sqrt2$ を $T-1$ 個）は、1個あたり $J_{\mathrm Q}=4\cdot\pi^2=4\pi^2$ の和で $4\pi^2(T-1)$、誤差は $1/\sqrt T$ の大きさにとどまる（標準量子限界）。位相推定では $\hat U$ を何回も続けて同じ補助の量子ビットに当てる（$\hat U^{2^j}$）ので、位相が回数に比例して増幅され、Fisher 情報は回数の2乗に比例する（Heisenberg 限界）。GHZ 状態は $N$ 個の量子ビットのもつれで同じ増幅を得たが、位相推定は同じ1個の量子ビットに時間方向にくり返し当てることで、もつれなしに同じ増幅を得ている。Higgins たちは光子1個を位相板に何度も通すこの方法で、標準量子限界を下回る位相の推定を実験で示した¹1B. L. Higgins, D. W. Berry, S. D. Bartlett, H. M. Wiseman and G. J. Pryde (2007), Nature 450, 393。下の脚注へ閉じる。

裾の代価

式 (6.2.11) は最良の測定で達する限界であり、標準の位相推定の出力の二乗平均誤差はこれに達しない。$\varphi$ を一様に選んで出力の誤差 $\delta=\varphi-m/T$（$\bmod1$ で $[-1/2,1/2)$ に戻す）の2乗を平均すると、和と $\varphi$ の平均をまとめて

$$\langle \delta^2 \rangle =T\int_{-1/2}^{1/2}\delta^2\,\frac{\sin^2(\pi T\delta)}{T^2\sin^2(\pi\delta)}\,\mathrm{d}\delta \approx\frac1{2T}\int_{-1/2}^{1/2}\frac{\delta^2}{\sin^2(\pi\delta)}\,\mathrm{d}\delta=\frac{\ln2}{\pi^2T}\tag{6.2.12}$$

となる（$T$ が大きいと $\sin^2(\pi T\delta)$ は速く振動するので平均の $1/2$ で置き換えた。積分は $2\ln2/\pi^2$）。二乗平均誤差は $\sqrt{\ln2}/(\pi\sqrt T)=0.265/\sqrt T$ で、$1/T$ でなく $1/\sqrt T$ でしか減らない。中央の山の幅は $1/T$ なのに、裾の確率 $1/(T\delta)^2$ と誤差の2乗 $\delta^2$ の積が $1/T^2$ のまま $T$ 個の $m$ にわたって足され、二乗平均を支配するからである。Kitaev の方法は多数決で裾の確率を指数関数的に小さくするので、二乗平均でも誤差が $\ln(t/\eta)/T$ の大きさになり、対数の因子を除いて Heisenberg 限界の尺度になる。「中央値で見れば $1/T$、二乗平均で見れば $1/\sqrt T$」という違いは、推定の良さを何で測るかで結論が変わる例になっている。

得られる情報量

補助の量子ビットは $t$ 個なので、Holevo の限界（第3部第7章）により、出力 $m$ が位相について持つ情報は $t\ln2$ nat（$t$ ビット）を超えない。$\varphi$ を $[0,1)$ で一様とすると、対称性から $m$ は一様で $H(M)=t\ln2$、したがって相互情報量は

$$I(\Phi;M)=t\ln2-H(M\,|\,\Phi),\qquad H(M\,|\,\Phi)=\int_0^1H\bigl(P(\cdot\,|\,\varphi)\bigr)\,\mathrm{d}\varphi\tag{6.2.13}$$

である。$H(M\,|\,\Phi)$ は分布 (6.2.8) の広がりのエントロピーで、$T$ によらずほぼ一定（$t=10$ で $0.845$ nat）になる。補助の量子ビットを1個足すごとに情報は $\ln2$ ずつ増え、上限との差は約 $0.84$ nat（約 $1.2$ ビット）のまま残る。差は裾への漏れで失われる情報である。

1　B. L. Higgins, D. W. Berry, S. D. Bartlett, H. M. Wiseman and G. J. Pryde (2007), Nature 450, 393。