位相推定：固有値を読む測定

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第6部 第2章 §6.2.3　★★★ 制御 $\hat U^{2^j}$ で位相を補助の量子ビットに書き移し、逆 QFT で読む。位相が $t$ ビットで書き切れないときの分布と成功確率

位相の書き移し

ユニタリ $\hat U$ と固有状態 $| u \rangle$、$\hat U| u \rangle =\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi}| u \rangle$ が与えられたとする。$\hat U$ を補助の量子ビットで制御した演算子（制御 $\hat U$。第6部第1章）を$\frac1{\sqrt2}(| 0 \rangle +| 1 \rangle )\otimes| u \rangle$ に当てると

$$\frac1{\sqrt2}\bigl(| 0 \rangle | u \rangle +| 1 \rangle \hat U| u \rangle \bigr)=\frac1{\sqrt2}\bigl(| 0 \rangle +\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi}| 1 \rangle \bigr)\otimes| u \rangle\tag{6.2.6}$$

になる。$| u \rangle$ は変わらず、位相は制御側の量子ビットの相対的な位相に移った。この現象を位相の書き戻し（phase kickback）と呼ぶ。全体の位相は測れないが、$| 0 \rangle$ と $| 1 \rangle$ の間の相対的な位相は $X$ や $Y$ を測れば読むことができる。制御を付けることが、測れない量を測れる量に変える操作になっている。

手順2の後、$l$ 番目の補助の量子ビットは式 (6.2.6) により $(| 0 \rangle +\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}2^{t-l}\varphi}| 1 \rangle )/\sqrt2$ になる。補助の量子ビット全体を $k=\sum_lk_l2^{t-l}$ と読むと、位相は $\prod_l\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi k_l2^{t-l}}=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi k}$ なので

$$| \psi_\varphi \rangle \coloneqq\frac1{\sqrt T}\sum_{k=0}^{T-1}\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi k}| k \rangle\tag{6.2.7}$$

になる。$| \psi_\varphi \rangle$ は整数 $k$ の上の周波数 $\varphi$ の波である。$\hat U$ は合わせて $1+2+\cdots+2^{t-1}=T-1$ 回使った（図 6.2.2）。

位相が書き切れる場合

$\varphi$ が $t$ ビットの2進小数 $\varphi=0.\varphi_1\cdots\varphi_t=b/T$（$b$ は整数）なら、式 (6.2.7) は $\hat U_{\mathrm{QFT}}| b \rangle$ そのものである。したがって $\hat U_{\mathrm{QFT}}^\dagger$ を当てると補助の量子ビットは $| b \rangle$ になり、測定は確率 $1$ で $m=b$、すなわち $\varphi$ を正確に返す。QFT の積の形 (6.2.2) と見比べると、手順2で $l$ 番目の補助の量子ビットに書き込まれた位相 $2\pi\cdot2^{t-l}\varphi$ の小数部分は $0.\varphi_{t-l+1}\cdots\varphi_t$ で、まさに QFT の $l$ 番目の因子になっている。

書き切れない場合の分布

一般の $\varphi$ では、$\hat U_{\mathrm{QFT}}^\dagger$ の後に $| m \rangle$ が出る確率は

$$P(m\,|\,\varphi)=\lvert \langle m | \hat U_{\mathrm{QFT}}^\dagger\psi_\varphi \rangle \rvert ^2 =\Bigl|\frac1T\sum_{k=0}^{T-1}\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} k(\varphi-m/T)}\Bigr|^2 =\frac{\sin^2(\pi T\delta_m)}{T^2\sin^2(\pi\delta_m)},\qquad\delta_m=\varphi-\frac mT\tag{6.2.8}$$

である（等比数列の和 $\sum_k\mathrm{e}^{\mathrm{i} xk}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} x(T-1)/2}\sin(Tx/2)/\sin(x/2)$ を使った）。これは $\delta_m=0$ で $1$、$\delta_m$ が $1/T$ の $0$ でない整数倍で $0$ になる関数で、真の値 $T\varphi$ に近い $m$ に確率が集まるが、遠い $m$ にも $1/(T\delta_m)^2$ の裾で漏れる（図 6.2.3）。

証明

(i) 最も近い $m$ では $\lvert T\delta_m\rvert \le1/2$。$\lvert \sin(\pi T\delta)\rvert \ge2\lvert T\delta\rvert$（$\lvert T\delta\rvert \le1/2$ での $\sin$ の凹性）と $\lvert \sin\pi\delta\rvert \le\pi\lvert \delta\rvert$ から$P\ge(2\lvert T\delta\rvert )^2/(T\pi\lvert \delta\rvert )^2=4/\pi^2$。

(ii) $m=b+l$ では $T\delta_m=\beta-l$。分子を $1$ で、分母を $\lvert \sin(\pi y/T)\rvert \ge2\lvert y\rvert /T$（$\lvert y\rvert \le T/2$）で押さえると $P(m)\le1/(4(l-\beta)^2)$。$l\ge e+1$ では $(l-\beta)^2\ge(l-1)^2$、$l\le-(e+1)$ では $(l-\beta)^2\ge l^2$ なので、$\sum_{l\ge e}1/l^2\le1/(e-1)$ を使って

$$\Pr(\lvert l\rvert >e)\le\frac14\sum_{l'\ge e}\frac1{l'^2}+\frac14\sum_{l\ge e+1}\frac1{l^2}\le\frac14\Bigl(\frac1{e-1}+\frac1e\Bigr)\le\frac1{2(e-1)}.$$

(iii) $\lvert l\rvert \le e$ なら $\lvert m/T-\varphi\rvert =\lvert l-\beta\rvert /T\le(e+1)/T$。$e=2^{t-n}-1$ と取れば誤差は $2^{-n}$ 以下で、失敗の確率は $1/(2(2^{t-n}-2))$ 以下。これが $\varepsilon$ 以下になる条件が $2^{t-n}\ge2+1/(2\varepsilon )$ である。

(iii) の追加の量子ビット $\lceil\log_2(2+1/(2\varepsilon ))\rceil$ 個は、裾 $1/l^2$ の確率を切り落とすための余白である。失敗確率を $\varepsilon$ にするのに $\log_2(1/\varepsilon )$ 個で済むのは、余白の量子ビットを1個足すごとに $\hat U$ の使用回数が倍になり、裾の確率が半分になるからである。裾が $1/l^2$ と遅くしか落ちないのは、入力の波 $| \psi_\varphi \rangle$ が $k=0$ と $k=T-1$ で急に途切れる「矩形の窓」を持つためで、6.2.6 節で信号処理のスペクトルの漏れと同じものとして読み直す。

固有状態でない入力

系の初期状態が固有状態でなく $| \psi \rangle =\sum_uc_u| u \rangle$ の場合、線形性により手順2の後の状態は $\sum_uc_u| \psi_{\varphi_u} \rangle | u \rangle$ で、$m$ が出る確率は $\sum_u\lvert c_u\rvert ^2P(m\,|\,\varphi_u)$ になる。各 $\varphi_u$ が $t$ ビットで書き切れて互いに違うなら、$m$ を読むと系は対応する $| u \rangle$ に確定する。このとき位相推定は$\hat U$ の固有基底での射影測定を実現している。$\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\tau/\hbar}$ なら、それはエネルギーの射影測定で、近似的な基底状態を用意して位相推定にかければ、重なり $\lvert c_0\rvert ^2$ の確率で基底エネルギーを読むことができる。書き切れない位相では各 $| u \rangle$ が少しずつ混ざり、測定は射影から少しずれる（総合問題の (2)）。