授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第6部 第2章 §6.2.6　★★ 離散 Fourier 変換とスペクトルの漏れ・時間とエネルギーの関係・Ramsey 干渉と、この章の式を並べる

離散 Fourier 変換と FFT

信号処理の授業では、長さ $T$ の数列 $x_k$ の離散 Fourier 変換（DFT）を

$$X_m=\sum_{k=0}^{T-1}x_k\,\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i} km/T},\qquad x_k=\frac1T\sum_{m=0}^{T-1}X_m\,\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} km/T}$$

と書く。この章の QFT (6.2.1) は、行列としては逆 DFT に $\sqrt T$ を掛けたユニタリ版で、規格化の因子を前後に $1/\sqrt T$ ずつ振り分けた形である。FFT は、DFT の行列を「偶数番目と奇数番目に分ける」操作で $\log_2T$ 段の積に分解し、演算を $\mathcal{O}(T\log T)$ にする。QFT の積の形 (6.2.2) は、同じ分解を量子ビットごとのテンソル積として書いたもので、FFT の各段が回路の $H$ と制御回転の列に対応する。FFT では各段で $T$ 個の数をすべて更新するので $T$ に比例した演算が要るが、量子回路では $T$ 個の振幅が1つの状態に入っているので、1つのゲートで全部の振幅が同時に更新される。

スペクトルの漏れ

単一の周波数の信号 $x_k=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\varphi k}$（$k=0,\dots,T-1$）を DFT すると、

$$\frac{\lvert X_m\rvert ^2}{T^2}=\frac{\sin^2(\pi T(\varphi-m/T))}{T^2\sin^2(\pi(\varphi-m/T))}$$

で、位相推定の分布 (6.2.8) と同じ式になる。$\varphi$ が周波数の格子 $m/T$ に乗らないと、隣の周波数へ $1/(T\delta)^2$ の裾で漏れる。信号処理ではこれをスペクトルの漏れと呼び、矩形の窓で信号を切り出したことが原因だと習う。格子のちょうど中間の周波数でピークの高さが $(2/\pi)^2$ 倍（$10\log_{10}(\pi^2/4)=3.92$ dB）に下がることは scalloping loss と呼ばれ、定理 6.2.6 (i) の $4/\pi^2$ と同じ数である。信号処理では窓関数（Hann 窓など）で裾を下げる。量子の側でも、補助の量子ビットの初期状態を一様な重ね合わせでなく窓をかけた重ね合わせにすると、裾を下げて二乗平均誤差を改善することができる。

時間とエネルギー

$\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\tau/\hbar}$ のとき、固有値 $E$ の固有状態の位相は $\varphi=-E\tau/(2\pi\hbar)\bmod1$ である。位相推定は時間 $\tau$ の発展を合わせて $T-1$ 回、すなわち合計の時間 $t_{\mathrm{tot}}=(T-1)\tau$ の発展を使い、位相を $1/T$ の精度で読む。エネルギーに直すと

$$\Delta E\approx\frac{2\pi\hbar}{T\tau}\approx\frac{2\pi\hbar}{t_{\mathrm{tot}}},$$

となり、授業で習う時間とエネルギーの関係 $\Delta E\,\Delta t\gtrsim\hbar$、あるいは Fourier 解析の帯域幅の関係 $\Delta\omega\,\Delta t\gtrsim2\pi$ と同じ形である。有限の時間しか観測しなければ周波数（エネルギー）は時間の逆数の精度でしか決まらない、という古典の信号処理の制約が、そのまま位相推定の精度の限界になっている。位相の折り返し（$\varphi$ は $\bmod1$ でしか決まらない）は、エネルギーが $2\pi\hbar/\tau$ の幅の中でしか区別できないことを意味し、サンプリングの間隔 $\tau$ で決まる Nyquist の周波数の制約に当たる。

Ramsey 干渉

反復位相推定の1段（図 6.2.4）は、原子時計で使う Ramsey 干渉と同じ構造である。Ramsey 干渉では、$\pi/2$ パルス（$H$ に当たる）で重ね合わせを作り、自由に時間 $\tau$ だけ発展させて位相 $\omega_0\tau$ をためる（制御 $\hat U$ の書き戻しに当たる）。もう一度 $\pi/2$ パルスを当てて占有を測ると、確率 $(1+\cos\omega_0\tau)/2$ の干渉縞が得られる。待ち時間を2倍、4倍と伸ばすと縞は細かくなるが、どの縞にいるかが分からなくなる。Kitaev の継ぎ合わせは、短い待ち時間の結果でどの縞かを決め、長い待ち時間の結果で縞の中の位置を決める、という時計の調整と同じ手順である。