この章のまとめ

(1) $Z| 0 \rangle =| 0 \rangle$ なので $\hat H| 0 \rangle =-\frac{\hbar\omega_0}2| 0 \rangle$、$\hat U| 0 \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0\tau/2}| 0 \rangle$。よって $\varphi_0=\omega_0\tau/(4\pi)\bmod1$、同様に $\varphi_1=-\omega_0\tau/(4\pi)\bmod1$。$\omega_0\tau=3\pi/4$ では $\varphi_0=3/16$、$\varphi_1=13/16$ で、どちらも4ビットで書き切れる。入力 $| + \rangle$ は2つの固有状態に重み $1/2$ ずつなので、$m=3$ と $m=13$ が確率 $1/2$ ずつ出る。$m=3$ なら系は $| 0 \rangle$、$m=13$ なら $| 1 \rangle$ に確定し、これは $Z$（エネルギー）の射影測定である。

(2) $t=3$（$T=8$）では $T\varphi_0=1.5$、$T\varphi_1=6.5$ で、どちらも整数の中間にある。式 (6.2.8) から $P(1\,|\,\varphi_0)=0.4105$、$P(1\,|\,\varphi_1)=0.0226$ なので

$$\Pr(m=1)=\tfrac12(0.4105+0.0226)=0.2166.$$

$m=1$ が出た後の系は、2つの固有状態の振幅に $\langle m | \hat U_{\mathrm{QFT}}^\dagger\psi_{\varphi_u} \rangle$ が掛かった状態で、$| 0 \rangle$ にある確率は $0.4105/(0.4105+0.0226)=0.948$。書き切れない位相では、$m$ を読んでも系は固有状態に完全には確定せず、測定は射影測定から少しずれる。最も近い2つの $m$ は $\varphi_0$ について $1,2$、$\varphi_1$ について $6,7$ である。$P(1\,|\,\varphi_0)=P(2\,|\,\varphi_0)=0.4105$、$P(6\,|\,\varphi_0)=0.0162$、$P(7\,|\,\varphi_0)=0.0226$ で、$\varphi_1$ については左右を入れ替えた同じ値なので、

$$\Pr(m\in\{1,2,6,7\})=\tfrac12(0.821+0.039)+\tfrac12(0.039+0.821)=0.860.$$

自分の固有位相の隣に出る分が $0.821$、相手の固有位相の隣に漏れる分が $0.039$ で、残りの $0.140$ はそれ以外の $m$ への漏れである。これは 6.2.6 節のスペクトルの漏れで周波数が格子の中間にある最悪の場合に当たる。

(3) 補助の量子ビットの状態は $| \psi_{\varphi_0} \rangle$、$\varphi_0=\omega_0\tau/(4\pi)$ で、$\omega_0$ についての生成子は $\hat G=2\pi\hat k\cdot\frac{\tau}{4\pi}=\frac\tau2\hat k$。$(\Delta k)^2=(T^2-1)/12$ なので

$$J_{\mathrm Q}(\omega_0)=4\cdot\frac{\tau^2}{4}\cdot\frac{T^2-1}{12}=\frac{(T^2-1)\tau^2}{12}.$$

独立な Ramsey 測定では、1回ごとの状態 $(| 0 \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0\tau/2}| 1 \rangle )/\sqrt2$ の生成子は $\frac\tau2| 1 \rangle \langle 1 |$ で分散 $\tau^2/16$、$J_{\mathrm Q}=\tau^2/4$。$T-1$ 回の和で $(T-1)\tau^2/4$。比は $(T+1)/3$ で、$T=16$ では $17/3=5.67$。$\Delta\omega_0\,\tau$ の下限は位相推定で $\sqrt{12/255}=0.217$、独立な測定で $\sqrt{4/15}=0.516$ である。$T$ が大きくなるほど比は $T$ に比例して開き、位相推定は Heisenberg 限界、独立な測定は標準量子限界の尺度になる。

(4) $4\cdot8\,\mathrm{e}^{-s/8}\le0.05$ から $s\ge8\ln640=51.7$、$s=52$。総使用回数は $2\cdot52\cdot(2^8-1)=26520$ 回。$\varphi_0$ の精度は $2^{-(t+2)}=2^{-10}$ で、$\omega_0\tau=4\pi\varphi_0$ なので $\omega_0\tau$ の精度は $4\pi\cdot2^{-10}=0.0123$。ただし $\varphi_0$ は $\bmod1$ でしか決まらないので、$\omega_0\tau$ は $4\pi$ の整数倍の不定性を残す。$\omega_0$ のおよその大きさを別に知っている（$\lvert \omega_0\rvert \tau<2\pi$）ことが前提になる。

(5) $B(m)=\sum_{k=m+1}^{10}(11-k)\cdot2\sin(\pi/2^k)$ は $B(7)=0.104$、$B(8)=0.0307$ なので、最小は $m=8$。落とすのは $k=9,10$ の制御回転 $2+1=3$ 個で、全 $45$ 個のうち $42$ 個が残る。補助の量子ビットが少ないうちは近似で減らせるゲートはわずかで、近似 QFT が意味を持つのは $n$ が大きいときである。