tecktom.com

授業で習った形との対応

2026年10月15日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第12章 Kramers–Kronig の関係と総和則
目次
  1. 屈折率と吸収係数で書いた形
  2. 符号の流儀
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

光学と量子エレクトロニクス　第12章 §12.6　★★ 授業の n−1n-1 と κ\kappa の KK の関係、吸収係数で書いた形、工学の eiωt\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} の流儀を、この章の式と並べる

屈折率と吸収係数で書いた形

学部の光学の授業では、KK の関係を εr\varepsilon_{\mathrm r} でなく複素屈折率で書くことが多い。n~−1\tilde n-1 は上半面で正則で、高い振動数で −ωp2/(2ω2)-\omega_{\mathrm p}^2/(2\omega^2) に減るので、式 (12.10) と同じ議論がそのまま当てはまり

n(ω)−1=2π P ⁣∫0∞ω′κ(ω′)ω′2−ω2 dω′=cπ P ⁣∫0∞αabs(ω′)ω′2−ω2 dω′(12.22)n(\omega)-1=\frac2\pi\,\mathrm P\!\int_0^\infty\frac{\omega'\kappa(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}\,\mathrm{d}\omega'=\frac{c}{\pi}\,\mathrm P\!\int_0^\infty\frac{\alpha_{\mathrm{abs}}(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}\,\mathrm{d}\omega'\tag{12.22}

になる。2つ目の形では、強度の吸収係数 αabs=2ωκ/c\alpha_{\mathrm{abs}}=2\omega\kappa/c（強度が e−αabsz\mathrm{e}^{-\alpha_{\mathrm{abs}}z} で減る。第10章の αabs\alpha_{\mathrm{abs}}）を使った。気体のように nn が 11 に近い物質では、式 (12.22) と式 (12.10) は ε1−1≈2(n−1)\varepsilon_1-1\approx2(n-1)、ε2≈2κ\varepsilon_2\approx2\kappa で同じものになる。

符号の流儀

電気工学や一部の光学の教科書は時間の依存性を eiωt\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}（工学では ejωt\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}）にとり、比誘電率を ε′−iε′′\varepsilon'-\mathrm{i}\varepsilon'' と書く。この流儀では χ(ω)\chi(\omega) は下半面で正則になるが、ε′′\varepsilon'' が吸収で正になるように符号を選んであるので、ε′\varepsilon' と ε′′\varepsilon'' の関係は式 (12.10) の ε1\varepsilon_1 と ε2\varepsilon_2 をそのまま置き換えた形になる。流儀が変わって符号が変わるのは複素平面の上の極の位置であり、測定できる量どうしの関係は変わらない。

授業での書き方この章での形式
n(ω)−1=2πP ⁣∫ω′κω′2−ω2dω′n(\omega)-1=\frac2\pi\mathrm P\!\int\frac{\omega'\kappa}{\omega'^2-\omega^2}\mathrm{d}\omega'n~−1\tilde n-1 に正の振動数の KK(12.22)
κ(ω)=−2ωπP ⁣∫n−1ω′2−ω2dω′\kappa(\omega)=-\frac{2\omega}\pi\mathrm P\!\int\frac{n-1}{\omega'^2-\omega^2}\mathrm{d}\omega'同上の第2式(12.10)
吸収係数で書いた分散 n−1=cπP ⁣∫αabsω′2−ω2n-1=\frac{c}{\pi}\mathrm P\!\int\frac{\alpha_{\mathrm{abs}}}{\omega'^2-\omega^2}αabs=2ωκ/c\alpha_{\mathrm{abs}}=2\omega\kappa/c を入れたもの(12.22)
ε′−iε′′\varepsilon'-\mathrm{i}\varepsilon''（eiωt\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} の流儀）ε1+iε2\varepsilon_1+\mathrm{i}\varepsilon_2（e−iωt\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}）(12.4)
Lorentz 振動子の分散曲線KK の関係を満たす1例(12.11)
Sellmeier の式細い吸収線の KK(12.11)
正常分散 dn/dλ<0\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda<0透明な領域で dε1/dω>0\mathrm{d}\varepsilon_1/\mathrm{d}\omega>0(12.12)
振動子強度の和 ∑f=Z\sum f=Zff 総和則(12.15)

授業では Lorentz 振動子の分散曲線を先に計算し、KK の関係をそれが満たす性質として紹介することが多い。この章では順序を逆にし、KK の関係を因果律から先に出して、Lorentz 振動子をそれを満たす最も簡単な例とみなした。Lorentz 振動子に限らず、どのような物質のモデルを作っても、因果的である限り分散と吸収はこの関係で結ばれる。逆に、模型を作って計算した εr(ω)\varepsilon_{\mathrm r}(\omega) が KK の関係や総和則を破っていれば、その模型はどこかで因果律か電子の数を取り違えている。

例題 12.6　気体の吸収線と遠く離れた波長の屈折率 ★★

オリジナル数密度 N=1.0×1017 m−3N=1.0\times10^{17}\,\mathrm{m^{-3}} の原子の気体が、波長 780 nm780\,\mathrm{nm}（角周波数 ω1\omega_1）に振動子強度 f=0.73f=0.73 の1本の細い吸収線を持つ。ほかの吸収は無視する。

  1. (1) 原子1個の吸収断面積 σabs(ω)\sigma_{\mathrm{abs}}(\omega)（αabs=Nσabs\alpha_{\mathrm{abs}}=N\sigma_{\mathrm{abs}}）の積分 ∫0∞σabsdω\int_0^\infty\sigma_{\mathrm{abs}}\mathrm{d}\omega を、ff 総和則 (12.15) から求めよ。古典電子半径 re=e2/(4πε0mc2)r_{\mathrm e}=e^2/(4\pi\varepsilon_0mc^2) で書き、f=1f=1 あたりの数値を出せ。
  2. (2) 式 (12.22) を使って、波長 1064 nm1064\,\mathrm{nm} の光に対する n−1n-1 を求めよ。
解答

(1) 気体では n≈1n\approx1 で αabs=2ωκ/c≈ωε2/c\alpha_{\mathrm{abs}}=2\omega\kappa/c\approx\omega\varepsilon_2/c なので、∫αabs dω=1c∫ωε2 dω\int\alpha_{\mathrm{abs}}\,\mathrm{d}\omega=\frac1c\int\omega\varepsilon_2\,\mathrm{d}\omega である。線1本の重みは ff 総和則で π2f Ne2/(ε0m)\frac\pi2f\,Ne^2/(\varepsilon_0m) なので、原子1個あたり

∫0∞σabs(ω) dω=πe2f2ε0mc=2π2rec f\int_0^\infty\sigma_{\mathrm{abs}}(\omega)\,\mathrm{d}\omega=\frac{\pi e^2f}{2\varepsilon_0mc}=2\pi^2r_{\mathrm e}c\,f

になる。2π2rec=2π2×2.818×10−15×2.998×108=1.668×10−5 m2 s−12\pi^2r_{\mathrm e}c=2\pi^2\times2.818\times10^{-15}\times2.998\times10^8=1.668\times10^{-5}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}} である。線の形や幅にかかわらず、断面積を角周波数で積分した値は振動子強度だけで決まる。

(2) 細い線では ∫αabs dω′=Nf⋅2π2rec\int\alpha_{\mathrm{abs}}\,\mathrm{d}\omega'=Nf\cdot2\pi^2r_{\mathrm e}c が ω1\omega_1 に集まっているので、式 (12.22) から

n−1=cπ⋅2π2rec Nfω12−ω2=Nfe22ε0m(ω12−ω2).n-1=\frac{c}{\pi}\cdot\frac{2\pi^2r_{\mathrm e}c\,Nf}{\omega_1^2-\omega^2}=\frac{Nfe^2}{2\varepsilon_0m(\omega_1^2-\omega^2)}.

ω1=2πc/(780 nm)=2.415×1015 s−1\omega_1=2\pi c/(780\,\mathrm{nm})=2.415\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}、ω=2πc/(1064 nm)=1.770×1015 s−1\omega=2\pi c/(1064\,\mathrm{nm})=1.770\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}} で ω12−ω2=2.698×1030 s−2\omega_1^2-\omega^2=2.698\times10^{30}\,\mathrm{s^{-2}}、Ne2/(ε0m)=3.18×1020 s−2Ne^2/(\varepsilon_0m)=3.18\times10^{20}\,\mathrm{s^{-2}} なので n−1=0.73×3.18×1020/(2×2.698×1030)=4.31×10−11n-1=0.73\times3.18\times10^{20}/(2\times2.698\times10^{30})=4.31\times10^{-11} になる。線より長い波長の光なので n>1n>1 で、その大きさは減衰の無い Lorentz 振動子の fωp2/[2(ω12−ω2)]f\omega_{\mathrm p}^2/[2(\omega_1^2-\omega^2)] と同じである。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

目次

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
← AI生成教科書『虎の巻』の記事一覧へ