何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第12章 §12.5　★★ KK の関係そのものは近似を含まない。仮定は線形・局所・時間的に一様の3つ。実験では反射率だけを広く測って位相を出すが、測っていない振動数の外挿が誤差のもとになる

置いた仮定

KK の関係は、線形性と因果律と時間的な一様性から数学の定理として出るので、それ自体には近似が無い。近似が入るのは、物質がこの3つを満たすとみなす所である。

第一は線形性で、光の電場 $E$ が原子の中の電場 $E_{\mathrm{at}}=e/(4\pi\varepsilon_0a_0^2)\approx5\times10^{11}\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ に比べて小さいとして、分極を $E$ の1次で打ち切った。強い光では2次・3次の分極（第17章の非線形光学）が加わり、式 (12.1) の形が崩れる。

第二は局所性で、ある点の分極がその点の電場だけで決まるとした。正確には応答は空間についても畳み込みで、感受率は波数にもよる $\chi(\omega,\bm{k})$ になる（空間分散）。固定した $\bm{k}$ ごとには時間についての因果律が成り立つので、KK の関係は $\chi(\omega,\bm{k})$ について成り立つ。光学で使う $\chi(\omega)$ は $\bm{k}\to0$ の極限で、原子の大きさや電子の平均自由行程 $a$ と波長の比 $ka$ が小さいことを使っている。金属の異常表皮効果のように平均自由行程が表皮の厚さより長くなると、この極限が使えなくなる。

第三は時間的な一様性で、測定の間に物質の性質が変わらないとした。光で励起しながら測る（ポンプ・プローブ）場合は、遅延時間ごとに別の物質とみなす。

反射率から位相を出す

KK の関係を実験に使う最も普通の場面は、強い吸収を持つ物質（金属・半導体のバンド間遷移の領域）の光学定数を求めることである。吸収が強いと試料を光が通らないので透過は測れないが、垂直入射の反射率 $R(\omega)$ なら厚い試料で広い振動数範囲にわたって測ることができる。

真空から複素屈折率 $\tilde n$ の物質へ垂直に入射した光の電場の反射係数は $(1-\tilde n)/(1+\tilde n)$ である（第14章）。定数の符号 $-1$ を外した

$$\tilde r(\omega)=\frac{\tilde n(\omega)-1}{\tilde n(\omega)+1}=\sqrt{R(\omega)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(\omega)}\tag{12.19}$$

の位相 $\theta$ を考える。$\tilde n$ は上半面で正則で、$\tilde r$ はそこで $0$ にならない（$\tilde r=0$ は $\varepsilon_{\mathrm r}=1$ のときで、$\varepsilon_{\mathrm r}$ は上半面で $1$ をとらない¹1上半面の虚軸の上で $\varepsilon_{\mathrm r}$ は実数で $1$ より大きく、それ以外の点では実数にならない。Landau と Lifshitz の連続媒質の電磁気学の教科書に証明がある。下の脚注へ閉じる）。したがって $\ln\tilde r=\ln\sqrt R+\mathrm{i}\theta$ も上半面で正則で、実部 $\ln\sqrt R$ は偶関数、虚部 $\theta$ は奇関数になる。$\ln\tilde r$ は $\lvert \omega\rvert \to\infty$ で $0$ にならず対数で増えるが、$\ln\lvert \omega\rvert /\lvert \omega\rvert \to0$ なので大きな半円の寄与は消え、式 (12.10) の第2式と同じ形

$$\theta(\omega)=-\frac{\omega}{\pi}\,\mathrm P\!\int_0^\infty\frac{\ln R(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}\,\mathrm{d}\omega'=-\frac{\omega}{\pi}\int_0^\infty\frac{\ln R(\omega')-\ln R(\omega)}{\omega'^2-\omega^2}\,\mathrm{d}\omega'\tag{12.20}$$

を得る（2つ目の形は主値の要らない数値計算向けの形）。$\theta$ が分かれば、式 (12.19) を $\tilde n$ について解いて

$$\tilde n=\frac{1+\tilde r}{1-\tilde r},\qquad n=\frac{1-R}{1+R-2\sqrt R\cos\theta},\qquad \kappa=\frac{2\sqrt R\sin\theta}{1+R-2\sqrt R\cos\theta}\tag{12.21}$$

が出る。$\kappa>0$ の物質では $\operatorname{Im}\tilde r=2\kappa/\lvert \tilde n+1\rvert ^2>0$ なので $0<\theta<\pi$ である。$\tilde n$ が $1$ より小さい高い振動数では $\tilde r<0$ に近づき、$\theta\to\pi$ になる。

図 12.4 は、図 12.2 と同じ Lorentz 振動子の $R(\omega)$ を「測った」とし、$\omega\le4\,\omega_0$ の範囲の値と、その先を $R\propto\omega^{-4}$ で延ばした値から式 (12.20)・(12.21) で $n$ と $\kappa$ を組み立てたものである。$\omega_0$ と $\sqrt{\omega_0^2+\omega_{\mathrm p}^2}=1.80\,\omega_0$ の間で $R$ が $0.78$ まで上がる反射帯（$\varepsilon_1<0$）があり、そこで $n$ が小さく $\kappa$ が大きくなる様子が再現されている。位相の誤差は $\omega\le2\,\omega_0$ で $0.033$ 以下だった。外挿の指数は高い振動数の $\tilde r\approx-\omega_{\mathrm p}^2/(4\omega^2)$（式 (12.14)）から $R\propto\omega^{-4}$ を選んだもので、これを $\omega^{-2}$ と誤ると $\omega=2\,\omega_0$ の位相が $0.36$ ずれた。式 (12.20) の積分は対数 $\ln R$ を含むので、測っていない振動数の $R$ の大きさよりも、その減り方の指数のほうが結果を大きく左右する。

測っていない振動数の $R$ を模型で補う操作は、未知の量を既知の量の関数で置き換えて積分を閉じる操作で、第V巻の言葉では C 型にあたる。その誤差を測った範囲の情報だけで評価する方法は無く、指数を変えて結果がどれだけ動くかを調べるのが実際的な確かめ方になる。

この方法で金属の光学定数を広い範囲で組み立てた初期の代表例に、銀と銅の反射率の測定がある²2H. Ehrenreich and H. R. Philipp, Phys. Rev. 128, 1622 (1962)。下の脚注へ閉じる。反射率のほかに、斜め入射の偏光の変化を測るエリプソメトリは1つの振動数で $\varepsilon_1$ と $\varepsilon_2$ を直接決めるので、KK の関係を使わずに求めた値と比べて KK の関係を確かめることができる。また、組み立てた $\varepsilon_2$ を式 (12.15) に入れて $N_{\mathrm{eff}}$ が原子あたりの電子の数に近づくかを見ることは、測定と外挿が正しいかの確かめになる。バンド間遷移の構造を測った $\varepsilon_2$ から読み取る話は、ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第6章で扱う。

1　上半面の虚軸の上で $\varepsilon_{\mathrm r}$ は実数で $1$ より大きく、それ以外の点では実数にならない。Landau と Lifshitz の連続媒質の電磁気学の教科書に証明がある。

2　H. Ehrenreich and H. R. Philipp, Phys. Rev. 128, 1622 (1962)。