出てくるもの（1）：正の振動数の KK の関係と分散の形

光学と量子エレクトロニクス　第12章 §12.3　★★★ 実数性で負の振動数を消すと、測定できる $\omega>0$ だけの式になる。吸収の山はその外側の屈折率を持ち上げ、透明な領域では屈折率が必ず振動数とともに増える

正の振動数だけで書く

実験で測れるのは $\omega>0$ の量だけである。式 (12.8) の積分を $\omega'<0$ と $\omega'>0$ に分け、負の側で $\omega'\to-\omega'$ と置き換えて実数性 (12.5)（虚部は奇、実部は偶）を使う。第1式では $\operatorname{Im}\chi(\omega')[1/(\omega'-\omega)+1/(\omega'+\omega)]=2\omega'\operatorname{Im}\chi(\omega')/(\omega'^2-\omega^2)$、第2式では $\operatorname{Re}\chi(\omega')[1/(\omega'-\omega)-1/(\omega'+\omega)]=2\omega\operatorname{Re}\chi(\omega')/(\omega'^2-\omega^2)$ がまとまり、

を得る。この形は因果律と実数性の両方を使っている。数値で計算するときは、$\mathrm P\!\int_0^\infty\mathrm{d}\omega'/(\omega'^2-\omega^2)=0$ を使って被積分関数の分子から $\omega=\omega'$ での値を引いておくと、特異点の無い普通の積分になる。

図 12.2 は、Lorentz 振動子（$\gamma=0.1\,\omega_0$、$\omega_{\mathrm p}=1.5\,\omega_0$）の $\varepsilon_1$ と $\varepsilon_2$ を、式 (12.10) で $\varepsilon_2$ から作った $\varepsilon_1$ と比べたものである。ただし実際の測定をまねて、$\varepsilon_2$ を $\omega\le1.6\,\omega_0$ の範囲だけで与え、その外を $0$ として積分した。厳密な $\varepsilon_1$ との差は低い振動数で $0.02$、$\omega=2\,\omega_0$ で $0.02$ の程度で、共鳴の形はほぼ完全に再現される。打ち切った先の吸収は小さいが、それを捨てたことで低い振動数の $\varepsilon_1$ が一様に少し下がった。式 (12.10) の分母が $\omega'^2$ の程度なので、高い振動数の吸収は低い振動数の屈折率に正の定数を足す形で入るからである。

細い吸収線と Sellmeier の式

吸収が角周波数 $\omega_j$ の細い線に集まっている場合を考える。線の重みを振動子強度 $f_j$ で表し、$\omega>0$ の側で$\varepsilon_2(\omega)=\frac\pi2\frac{f_j\omega_{\mathrm p}^2}{\omega_j}\,\delta(\omega-\omega_j)$ とおく（係数の選び方は 12.4節の総和則で意味が分かる）。式 (12.10) の第1式に入れると

$$\varepsilon_1(\omega)-1=\sum_j\frac{f_j\,\omega_{\mathrm p}^2}{\omega_j^2-\omega^2}\tag{12.11}$$

となる。減衰の無い Lorentz 振動子の和と同じ形で、波長で書けば光学ガラスの屈折率を表す Sellmeier の式になる。第11章ではこの形を振動子の運動方程式から出したが、ここでは「吸収が $\omega_j$ に集まっている」ことだけから出た。物質の中身が何であっても、吸収線の位置と重みが分かれば、その外側の屈折率が決まる。

透明な領域では屈折率が必ず増える

$\omega$ の近くに吸収が無い透明な領域では、式 (12.10) の第1式の被積分関数は $\omega'=\omega$ で特異にならず、$\omega$ で微分して積分の中へ入れることができる。$\partial_\omega[1/(\omega'^2-\omega^2)]=2\omega/(\omega'^2-\omega^2)^2>0$ なので

$$\frac{\mathrm{d} \varepsilon_1}{\mathrm{d} \omega}=\frac{4\omega}{\pi}\int_0^\infty\frac{\omega'\varepsilon_2(\omega')}{(\omega'^2-\omega^2)^2}\,\mathrm{d}\omega'>0\qquad(\text{透明な領域・}\varepsilon_2\ge0)\tag{12.12}$$

である。受動的な物質の透明な領域では、$\varepsilon_1$ は振動数とともに必ず増える。これが正常分散で、ガラスが青い光を赤い光より強く曲げる理由である。$\varepsilon_1$ が振動数とともに減る異常分散は、$\varepsilon_2$ がゼロでない所、つまり吸収のある所でしか起きない（図 12.2 の山の幅の中）。第11章で Lorentz 振動子について見た正常分散と異常分散の配置は、この不等式によってどの物質でも同じになる。反転分布のある利得媒質では $\varepsilon_2<0$ の線があり、その外側で $\varepsilon_1$ が振動数とともに減ることがある。これは第11章の遅い光と速い光の話につながる。

金属：原点の極

金属では直流の伝導度 $\sigma_0$ のために、$\omega\to0$ で $\varepsilon_{\mathrm r}\approx\mathrm{i}\sigma_0/(\varepsilon_0\omega)$ と発散する。この極は実軸の上にあるので、図 12.1 の積分路で原点も小さな半円で避ける必要がある。極の部分を引いた $\chi(\omega)-\mathrm{i}\sigma_0/(\varepsilon_0\omega)$ は原点で正則で、これに KK の関係を当てればよい。引いた項は実軸の上で純虚数なので実部は変わらず、虚部だけが $\sigma_0/(\varepsilon_0\omega)$ だけ変わる。正の振動数の形に直すと

$$\varepsilon_1(\omega)-1=\frac2\pi\,\mathrm P\!\int_0^\infty\frac{\omega'\varepsilon_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}\,\mathrm{d}\omega',\qquad \varepsilon_2(\omega)=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0\omega}-\frac{2\omega}\pi\,\mathrm P\!\int_0^\infty\frac{\varepsilon_1(\omega')-1}{\omega'^2-\omega^2}\,\mathrm{d}\omega'\tag{12.13}$$

である。第1式が変わらないのは、引いた項 $\sigma_0/(\varepsilon_0\omega')$ を第1式に入れると $\omega'$ と打ち消して定数になり、$\mathrm P\!\int_0^\infty\mathrm{d}\omega'/(\omega'^2-\omega^2)=0$ で消えるからである。第2式の $\sigma_0/(\varepsilon_0\omega)$ は、$\varepsilon_1$ を知っても直流の伝導度が決まらないことを表す。$\varepsilon_1$ から作れるのは、直流の極を除いた吸収だけである。Drude 模型 $\varepsilon_{\mathrm r}=1-\omega_{\mathrm p}^2/[\omega(\omega+\mathrm{i}\gamma)]$（$\sigma_0=\varepsilon_0\omega_{\mathrm p}^2/\gamma$）で式 (12.13) を数値で確かめると、どちらの式も成り立つ（検算に入れた）。