光学と量子エレクトロニクス 第12章 §12.2 ★★★ χ ( t ) = 0 \chi(t)=0 χ ( t ) = 0 t < 0 t<0 t < 0 χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω )
複素数の振動数へ延長する
式 (12.3) の ω \omega ω ω = ω R + i ω I \omega=\omega_{\mathrm R}+\mathrm{i}\omega_{\mathrm I} ω = ω R + i ω I χ ( t ) e i ω R t e − ω I t \chi(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{\mathrm R}t}\mathrm{e}^{-\omega_{\mathrm I}t} χ ( t ) e i ω R t e − ω I t t > 0 t>0 t > 0 ω I > 0 \omega_{\mathrm I}>0 ω I > 0 e − ω I t \mathrm{e}^{-\omega_{\mathrm I}t} e − ω I t t → ∞ t\to\infty t → ∞ χ ( t ) \chi(t) χ ( t ) ω \omega ω t e − ω I t t\,\mathrm{e}^{-\omega_{\mathrm I}t} t e − ω I t χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) ∣ ω ∣ → ∞ \lvert \omega\rvert \to\infty ∣ ω ∣ → ∞ χ ( ω ) → 0 \chi(\omega)\to0 χ ( ω ) → 0
もし χ ( t ) \chi(t) χ ( t ) t < 0 t<0 t < 0 t → − ∞ t\to-\infty t → − ∞ e − ω I t \mathrm{e}^{-\omega_{\mathrm I}t} e − ω I t
定理 12.1（Titchmarsh の定理 ★★★）
χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω )
(i) 逆変換した χ ( t ) \chi(t) χ ( t ) t < 0 t<0 t < 0 0 0 0 (ii) χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) χ ( ω R + i ω I ) \chi(\omega_{\mathrm R}+\mathrm{i}\omega_{\mathrm I}) χ ( ω R + i ω I ) ω I → 0 + \omega_{\mathrm I}\to0^+ ω I → 0 + ∫ ∣ χ ( ω R + i ω I ) ∣ 2 d ω R \int\lvert \chi(\omega_{\mathrm R}+\mathrm{i}\omega_{\mathrm I})\rvert ^2\mathrm{d}\omega_{\mathrm R} ∫ ∣ χ ( ω R + i ω I ) ∣ 2 d ω R ω I > 0 \omega_{\mathrm I}>0 ω I > 0 (iii) χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) (12.8) で互いに決まる。
証明は E. C. Titchmarsh の Fourier 積分の教科書（1937年）にある1 1 E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals (Clarendon Press, Oxford, 1937)。物理の因果律との関係を整理したのは J. S. Toll, Phys. Rev. 104 , 1760 (1956)。χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) ∣ ω ∣ → ∞ \lvert \omega\rvert \to\infty ∣ ω ∣ → ∞ ω − 2 \omega^{-2} ω − 2 χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) ω = 0 \omega=0 ω = 0 12.3 節で述べる。
Cauchy の積分から KK の関係へ
実軸の上の1点 ω \omega ω χ ( ω ′ ) / ( ω ′ − ω ) \chi(\omega')/(\omega'-\omega) χ ( ω ′ ) / ( ω ′ − ω ) 12.1 の閉曲線に沿って ω ′ \omega' ω ′ − R -R − R R R R ω ′ = ω \omega'=\omega ω ′ = ω δ \delta δ R R R 0 0 0 R → ∞ R\to\infty R → ∞ χ → 0 \chi\to0 χ → 0 − i π χ ( ω ) -\mathrm{i}\pi\chi(\omega) − i π χ ( ω ) δ → 0 \delta\to0 δ → 0 主値積分 P ∫ \mathrm P\!\int P ∫ ω \omega ω δ \delta δ δ → 0 \delta\to0 δ → 0
P ∫ − ∞ ∞ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ − i π χ ( ω ) = 0 , χ ( ω ) = 1 i π P ∫ − ∞ ∞ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ (12.7) \mathrm P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\,\mathrm{d}\omega'-\mathrm{i}\pi\chi(\omega)=0,\qquad
\chi(\omega)=\frac{1}{\mathrm{i}\pi}\,\mathrm P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\,\mathrm{d}\omega'\tag{12.7} P ∫ − ∞ ∞ ω ′ − ω χ ( ω ′ ) d ω ′ − i π χ ( ω ) = 0 , χ ( ω ) = i π 1 P ∫ − ∞ ∞ ω ′ − ω χ ( ω ′ ) d ω ′ ( 12.7 )
を得る。右辺の 1 / i 1/\mathrm{i} 1/ i
Kramers–Kronig の関係（全実軸の形）
Re χ ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ Im χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ , Im χ ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ Re χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ (12.8) \operatorname{Re}\chi(\omega)=\frac1\pi\,\mathrm P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{Im}\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\,\mathrm{d}\omega',\qquad
\operatorname{Im}\chi(\omega)=-\frac1\pi\,\mathrm P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{Re}\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\,\mathrm{d}\omega'\tag{12.8} Re χ ( ω ) = π 1 P ∫ − ∞ ∞ ω ′ − ω Im χ ( ω ′ ) d ω ′ , Im χ ( ω ) = − π 1 P ∫ − ∞ ∞ ω ′ − ω Re χ ( ω ′ ) d ω ′ ( 12.8 )
が出る。虚部（吸収）がすべての振動数で分かれば実部（分散）が決まり、逆も成り立つ。この形が使ったのは因果律と、χ → 0 \chi\to0 χ → 0 ∣ ω ∣ → ∞ \lvert \omega\rvert \to\infty ∣ ω ∣ → ∞ 2 2 R. de L. Kronig, J. Opt. Soc. Am. 12 , 547 (1926)；H. A. Kramers, Atti Congr. Int. Fisici (Como) 2 , 545 (1927)。(12.8) の右辺の積分変換を Hilbert 変換 と呼ぶ。
図 12.1 KK の関係を出す積分路。χ ( ω ′ ) \chi(\omega') χ ( ω ′ ) ω ′ = − i γ / 2 ± ω ˉ \omega'=-\mathrm{i}\gamma/2\pm\bar\omega ω ′ = − i γ /2 ± ω ˉ ω \omega ω
同じ内容は、実軸から少しだけ上へずらした分母の公式
1 ω ′ − ω − i 0 = P 1 ω ′ − ω + i π δ ( ω ′ − ω ) (12.9) \frac{1}{\omega'-\omega-\mathrm{i}0}=\mathrm P\frac{1}{\omega'-\omega}+\mathrm{i}\pi\,\delta(\omega'-\omega)\tag{12.9} ω ′ − ω − i 0 1 = P ω ′ − ω 1 + i π δ ( ω ′ − ω ) ( 12.9 )
（Sokhotski–Plemelj の公式）でも書くことができる。左辺の虚部 η / [ ( ω ′ − ω ) 2 + η 2 ] \eta/[(\omega'-\omega)^2+\eta^2] η / [( ω ′ − ω ) 2 + η 2 ] π \pi π η → 0 + \eta\to0^+ η → 0 + π \pi π (12.7) の小さな半円の寄与 − i π χ ( ω ) -\mathrm{i}\pi\chi(\omega) − i π χ ( ω )
なぜ因果律が実部と虚部を結ぶのか
階段関数 Θ ( t ) \Theta(t) Θ ( t ) χ ( t ) \chi(t) χ ( t ) χ ( t ) = Θ ( t ) χ ( t ) \chi(t)=\Theta(t)\chi(t) χ ( t ) = Θ ( t ) χ ( t ) Θ ( t ) \Theta(t) Θ ( t ) i / ( ω + i 0 ) \mathrm{i}/(\omega+\mathrm{i}0) i / ( ω + i 0 ) P ( 1 / ω ) \mathrm P(1/\omega) P ( 1/ ω ) χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) P ( 1 / ω ) \mathrm P(1/\omega) P ( 1/ ω ) (12.8) になる。時間の半直線に応答が閉じ込められていることが、振動数の側では「実部と虚部が独立でない」ことに対応する。
例題 12.2 Debye 緩和で KK の関係を確かめる ★★
オリジナル 極性分子の液体の向きの緩和を、応答関数 χ ( t ) = ( Δ χ / τ ) e − t / τ Θ ( t ) \chi(t)=(\Delta\chi/\tau)\,\mathrm{e}^{-t/\tau}\Theta(t) χ ( t ) = ( Δ χ / τ ) e − t / τ Θ ( t ) Δ χ > 0 \Delta\chi>0 Δ χ > 0 τ > 0 \tau>0 τ > 0
(1) χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) (2) 式 (12.8) の第1式の右辺を部分分数で計算し、実部が再現されることを確かめよ。(3) 実部が同じで虚部の符号だけが逆の関数 χ × ( ω ) = Δ χ / ( 1 + i ω τ ) \chi_{\times}(\omega)=\Delta\chi/(1+\mathrm{i}\omega\tau) χ × ( ω ) = Δ χ / ( 1 + i ω τ ) χ × ( t ) \chi_{\times}(t) χ × ( t ) (12.8) が成り立たないことを確かめよ。
解答 (1) χ ( ω ) = ( Δ χ / τ ) ∫ 0 ∞ e ( i ω − 1 / τ ) t d t = Δ χ / ( 1 − i ω τ ) \chi(\omega)=(\Delta\chi/\tau)\int_0^\infty\mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega-1/\tau)t}\mathrm{d} t=\Delta\chi/(1-\mathrm{i}\omega\tau) χ ( ω ) = ( Δ χ / τ ) ∫ 0 ∞ e ( i ω − 1/ τ ) t d t = Δ χ / ( 1 − i ω τ )
Re χ = Δ χ 1 + ω 2 τ 2 , Im χ = Δ χ ω τ 1 + ω 2 τ 2 . \operatorname{Re}\chi=\frac{\Delta\chi}{1+\omega^2\tau^2},\qquad \operatorname{Im}\chi=\frac{\Delta\chi\,\omega\tau}{1+\omega^2\tau^2}. Re χ = 1 + ω 2 τ 2 Δ χ , Im χ = 1 + ω 2 τ 2 Δ χ ω τ .
極は ω = − i / τ \omega=-\mathrm{i}/\tau ω = − i / τ ω τ = 1 \omega\tau=1 ω τ = 1 Δ χ / 2 \Delta\chi/2 Δ χ /2 Δ χ \Delta\chi Δ χ
(2) ω ′ \omega' ω ′
ω ′ τ ( 1 + ω ′ 2 τ 2 ) ( ω ′ − ω ) = a ω ′ − ω + b ω ′ + c 1 + ω ′ 2 τ 2 \frac{\omega'\tau}{(1+\omega'^2\tau^2)(\omega'-\omega)}=\frac{a}{\omega'-\omega}+\frac{b\,\omega'+c}{1+\omega'^2\tau^2} ( 1 + ω ′2 τ 2 ) ( ω ′ − ω ) ω ′ τ = ω ′ − ω a + 1 + ω ′2 τ 2 b ω ′ + c
と分ける。分母を払って ω ′ 2 \omega'^2 ω ′2 ω ′ \omega' ω ′ a τ 2 + b = 0 a\tau^2+b=0 a τ 2 + b = 0 c − b ω = τ c-b\omega=\tau c − bω = τ a − c ω = 0 a-c\omega=0 a − c ω = 0 a = ω τ / ( 1 + ω 2 τ 2 ) a=\omega\tau/(1+\omega^2\tau^2) a = ω τ / ( 1 + ω 2 τ 2 ) b = − a τ 2 b=-a\tau^2 b = − a τ 2 c = τ / ( 1 + ω 2 τ 2 ) c=\tau/(1+\omega^2\tau^2) c = τ / ( 1 + ω 2 τ 2 ) a / ( ω ′ − ω ) a/(\omega'-\omega) a / ( ω ′ − ω ) ω \omega ω 0 0 0 b ω ′ / ( 1 + ω ′ 2 τ 2 ) b\omega'/(1+\omega'^2\tau^2) b ω ′ / ( 1 + ω ′2 τ 2 ) 0 0 0 c ∫ d ω ′ / ( 1 + ω ′ 2 τ 2 ) = c π / τ c\int\mathrm{d}\omega'/(1+\omega'^2\tau^2)=c\pi/\tau c ∫ d ω ′ / ( 1 + ω ′2 τ 2 ) = c π / τ
1 π P ∫ − ∞ ∞ Im χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ = Δ χ π ⋅ π τ ⋅ τ 1 + ω 2 τ 2 = Δ χ 1 + ω 2 τ 2 = Re χ ( ω ) \frac1\pi\,\mathrm P\!\int_{-\infty}^\infty\frac{\operatorname{Im}\chi(\omega')}{\omega'-\omega}\mathrm{d}\omega'=\frac{\Delta\chi}{\pi}\cdot\frac{\pi}{\tau}\cdot\frac{\tau}{1+\omega^2\tau^2}=\frac{\Delta\chi}{1+\omega^2\tau^2}=\operatorname{Re}\chi(\omega) π 1 P ∫ − ∞ ∞ ω ′ − ω Im χ ( ω ′ ) d ω ′ = π Δ χ ⋅ τ π ⋅ 1 + ω 2 τ 2 τ = 1 + ω 2 τ 2 Δ χ = Re χ ( ω )
で、実部が再現される。
(3) χ × ( ω ) \chi_\times(\omega) χ × ( ω ) χ ( ω ) \chi(\omega) χ ( ω ) ω = + i / τ \omega=+\mathrm{i}/\tau ω = + i / τ χ × ( t ) = ( Δ χ / τ ) e t / τ Θ ( − t ) \chi_\times(t)=(\Delta\chi/\tau)\,\mathrm{e}^{t/\tau}\Theta(-t) χ × ( t ) = ( Δ χ / τ ) e t / τ Θ ( − t ) ∫ − ∞ 0 ( Δ χ / τ ) e ( i ω + 1 / τ ) t d t = Δ χ / ( 1 + i ω τ ) \int_{-\infty}^0(\Delta\chi/\tau)\mathrm{e}^{(\mathrm{i}\omega+1/\tau)t}\mathrm{d} t=\Delta\chi/(1+\mathrm{i}\omega\tau) ∫ − ∞ 0 ( Δ χ / τ ) e ( i ω + 1/ τ ) t d t = Δ χ / ( 1 + i ω τ ) t < 0 t<0 t < 0 (12.8) の右辺は − Re χ × ( ω ) -\operatorname{Re}\chi_\times(\omega) − Re χ × ( ω )
1 E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals (Clarendon Press, Oxford, 1937)。物理の因果律との関係を整理したのは J. S. Toll, Phys. Rev. 104 , 1760 (1956)。
2 R. de L. Kronig, J. Opt. Soc. Am. 12 , 547 (1926)；H. A. Kramers, Atti Congr. Int. Fisici (Como) 2 , 545 (1927)。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
