この章のまとめ

(1) 分母が $0$ になるのは $\omega=\omega_0-\mathrm{i}\gamma/2$ で、極は下半面に1つだけある。逆変換 $\chi(t)=\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\chi(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ は、$t<0$ では上半面で閉じると内側に極が無いので $0$、$t>0$ では下半面で時計回りに閉じて留数を拾い

$$\chi_{\mathrm{RWA}}(t)=\mathrm{i} A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0t-\gamma t/2}\,\Theta(t)$$

を得る。確かめに、$\int_0^\infty\mathrm{i} A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega-\omega_0)t-\gamma t/2}\mathrm{d} t=\mathrm{i} A/[\gamma/2-\mathrm{i}(\omega-\omega_0)]=A/(\omega_0-\omega-\mathrm{i}\gamma/2)$ である。$t<0$ で $0$ なので因果律は満たすが、$\chi_{\mathrm{RWA}}(t)$ は複素数で、実数の電場に複素数の分極を返す。振動数の側では $\chi_{\mathrm{RWA}}(-\omega)=A/(\omega_0+\omega-\mathrm{i}\gamma/2)$ が $\chi_{\mathrm{RWA}}(\omega)^*=A/(\omega_0-\omega+\mathrm{i}\gamma/2)$ と一致せず、実数性 (12.5) が破れる。虚部は $\operatorname{Im}\chi_{\mathrm{RWA}}=A(\gamma/2)/[(\omega_0-\omega)^2+\gamma^2/4]>0$ で、$\omega_0$ を中心とする幅 $\gamma$ の Lorentz 形の吸収線である。

(2) 式 (12.8) を出すのに使ったのは、上半面で正則であることと $\lvert \omega\rvert \to\infty$ で $0$ に減ることだけである。$\chi_{\mathrm{RWA}}$ は極が下半面にしか無く、$\lvert \omega\rvert \to\infty$ で $A/\omega$ のように減るので、どちらも満たし、式 (12.8) は成り立つ。直接確かめるには、例題 12.2 と同じく $\omega'$ について部分分数に分ければよい（$\chi_{\mathrm{RWA}}$ は Debye 形の $\omega$ を $\omega-\omega_0$ に、$\tau$ を $2/\gamma$ に置き換え、$\mathrm{i}$ を掛けたものなので、同じ計算がそのまま使える）。

(3) $\gamma\to0$ で $\operatorname{Im}\chi_{\mathrm{RWA}}\to\pi A\,\delta(\omega-\omega_0)$ である（面積 $\pi$ の山）。式 (12.10) の第1式に入れると

$$\varepsilon_1(\omega)-1=\frac2\pi\cdot\frac{\omega_0\cdot\pi A}{\omega_0^2-\omega^2}=\frac{2A\omega_0}{\omega_0^2-\omega^2}=A\Bigl[\frac{1}{\omega_0-\omega}+\frac{1}{\omega_0+\omega}\Bigr].$$

$A=Nd^2/(\varepsilon_0\hbar)$ を入れると $N\alpha_2(\omega)/\varepsilon_0$ そのもので、回転波近似で落とした反共鳴の項 $1/(\omega_0+\omega)$ が戻っている。正の振動数の形は、$\omega>0$ の吸収線を実数性で $\omega<0$ へ折り返した線（$-\omega_0$ にある鏡像）を含んで KK の関係を当てたものになる。反共鳴の項は、その鏡像の線が作る分散である。回転波近似は因果律を保つが実数性を壊す近似で、実数性を課し直すと落とした項が戻る。

(4) 細い線の重みは $\int_0^\infty\omega\varepsilon_2\mathrm{d}\omega=\omega_0\cdot\pi A=\pi\omega_0Nd^2/(\varepsilon_0\hbar)$ である。$f$ 総和則の1本の線の重み $\frac\pi2f\,Ne^2/(\varepsilon_0m)$ と等しいとおくと

$$f=\frac{2m\omega_0d^2}{\hbar e^2}$$

で、第1章の振動子強度の式と一致する。$\omega_0=2\pi c/(780\,\mathrm{nm})=2.415\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$ のとき $d^2=f\hbar e^2/(2m\omega_0)$ から$d=\sqrt{0.73\times1.0546\times10^{-34}/(2\times9.109\times10^{-31}\times2.415\times10^{15})}\;e=1.32\times10^{-10}\,\mathrm m\times e=2.50\,ea_0=2.12\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}$ になる。第1章で使った値と同じである。

(5) 正しい値は (3) の $2A\omega_0/(\omega_0^2-\omega^2)$、回転波近似の値は $\operatorname{Re}\chi_{\mathrm{RWA}}\approx A/(\omega_0-\omega)$（線から十分離れた所）なので、比は

$$\frac{2A\omega_0/(\omega_0^2-\omega^2)}{A/(\omega_0-\omega)}=\frac{2\omega_0}{\omega_0+\omega}$$

である。$\omega/\omega_0=780/1064=0.733$ では $2/1.733=1.154$ で、回転波近似は分散を $15\%$ 小さく見積もる。第1章の総合問題で光トラップの深さについて出した比 $1.154$ と同じ数で、双極子力のポテンシャルが分散（分極率の実部）で決まるからである。静的な極限 $\omega\to0$ では比は $2$ で、回転波近似は静的な分極率をちょうど半分にする。$(2/\pi)\int\varepsilon_2/\omega\,\mathrm{d}\omega$ の静的な和で計算しても $2A/\omega_0$ になり、正しい値の側と一致する。比が $1.1$ になるのは $\omega/\omega_0=2/1.1-1=0.818$、波長で $780/0.818=953\,\mathrm{nm}$ で、これより長い波長では回転波近似の誤差が $10\%$ を超える。