出てくるもの（2）：近接場でエバネッセント波を検出する

光学と量子エレクトロニクス　第8章 §8.3　★★ 波長より細かい構造の情報は物体のすぐそばのエバネッセント波にあり、波長より小さな開口を構造の近くに置けば検出することができる。代わりに透過する光は開口の半径の4乗で減る

細かい構造の情報はどこにあるか

周期 $\Lambda$ の構造が屈折率 $n$ の媒質の中で照らされると、膜の直後の場は波数 $K=2\pi/\Lambda$ の成分を持つ（式 (8.2)）。$K>nk_0$、つまり $\Lambda<\lambda_0/n$ なら、この成分はエバネッセント波で、物体から距離 $z$ の所の振幅は $\mathrm{e}^{-\kappa z}$ に比例する。$\Lambda\ll\lambda_0/n$ では $\kappa\approx K$ なので、減る距離は $1/\kappa\approx\Lambda/(2\pi)$ で、構造の周期の $6$ 分の $1$ ほどしかない。細かい構造の情報は消えたのではなく、物体の表面から $\Lambda/(2\pi)$ ほどの厚さの層の中に閉じ込められている。レンズはこの層の外にあるので、定理 8.1 は「伝わる波だけ」を前提にしてよかった。

小さな開口で検出する

この層の中の場を検出するには、半径 $a$ が波長より小さな開口を物体から $a$ 程度の距離まで近づけ、開口を通った光を検出しながら物体の上を走査する。小さな開口は、それ自身が細かい構造なので、エバネッセント波（横の波数の大きなモード）を散乱して伝わる波へ移す。式 (8.2) の逆向きの使い方で、開口の透過率のスペクトルが $\lvert \bm{q}\rvert \sim1/a$ まで広がっているので、物体の波数 $\bm{K}$ の成分を $\bm{K}-\bm{q}$ のモードへ移し、その中に伝わる波が含まれる。開口の大きさ $a$ と開口と物体の距離が分解能を決め、波長は分解能に入らない。この方法は Synge が光で提案し（E. H. Synge (1928), Phil. Mag. 6, 356）、Ash と Nicholls がマイクロ波（波長 $3\,\mathrm{cm}$）で波長の $60$ 分の $1$ の分解能を示した（E. A. Ash and G. Nicholls (1972), Nature 237, 510）。光の波長で同じことをするのが近接場光学顕微鏡（SNOM）である。

代わりに失うのは光の量である。完全導体の薄い板にあけた半径 $a$ の円い穴に、波長 $\lambda_0$ の平面波が垂直に当たるとき、$ka\ll1$（$k=2\pi/\lambda_0$）での透過率（穴の面積に当たった光のうち通り抜ける割合）は

$$T=\frac{64}{27\pi^2}(ka)^4\tag{8.8}$$

である（H. A. Bethe (1944), Phys. Rev. 66, 163）。穴は小さな電気双極子と磁気双極子として光を出し直し、双極子の大きさが穴の体積 $a^3$ に比例し、放射の強さがその2乗と $k^4$ に比例するので、穴の面積 $\pi a^2$ で割ると $(ka)^4$ が残る。分解能を2倍にするために $a$ を半分にすると、透過する光は $16$ 分の $1$ になる。