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上界しか出ない変分法で誤差の幅を知る：下界

2026年10月9日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4章 射影型近似：Rayleigh–Ritz・Galerkin と収束の速さ

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第4章 §4.4　★★ 上界だけでは誤差が分からない。分散を使うと真の固有値を両側から挟める

Rayleigh–Ritz 法は上界しか出さない。上界が −0.4950-0.4950 と出ても、真の値が −0.4951-0.4951 なのか −0.6-0.6 なのかは上界だけからは分からない。誤差の幅を知るには、何らかの下界が要る。そのための最も基本的な量はエネルギーの分散

σ2≔⟨H2⟩−⟨H⟩2=∥(H−⟨H⟩)ψ~∥2(∥ψ~∥=1, ⟨H⟩=⟨ψ~, Hψ~⟩)\sigma^2\coloneqq\langle H^2 \rangle -\langle H \rangle ^2=\lVert (H-\langle H \rangle )\tilde\psi\rVert ^2\qquad(\lVert \tilde\psi\rVert =1,\ \langle H \rangle =\langle \tilde\psi,\,H\tilde\psi\rangle )

である。ψ~\tilde\psi が固有関数なら Hψ~=Eψ~H\tilde\psi=E\tilde\psi なので σ=0\sigma=0。σ\sigma は「ψ~\tilde\psi が固有関数からどれだけ外れているか」をエネルギーの単位で測る。

定理 4.11（Weinstein の評価 ★★）

ψ~∈D(H)\tilde\psi\in\mathcal{D}(H)、∥ψ~∥=1\lVert \tilde\psi\rVert =1 のとき、区間 [⟨H⟩−σ, ⟨H⟩+σ][\langle H \rangle -\sigma,\ \langle H \rangle +\sigma] は HH のスペクトルの点を少なくとも1つ含む。

証明

スペクトル分解で ψ~\tilde\psi をスペクトル測度 dν(λ)\mathrm{d}\nu(\lambda)（∫dν=1\int\mathrm{d}\nu=1）に分解するとσ2=∫(λ−⟨H⟩)2dν(λ)≥dist⁡(⟨H⟩,σ(H))2∫dν\sigma^2=\int(\lambda-\langle H \rangle )^2\mathrm{d}\nu(\lambda)\ge\operatorname{dist}(\langle H \rangle ,\sigma (H))^2\int\mathrm{d}\nu。よって dist⁡(⟨H⟩,σ(H))≤σ\operatorname{dist}(\langle H \rangle ,\sigma (H))\le\sigma。

Weinstein の評価は誤差を σ\sigma の1乗で押さえる。これに対して、エネルギーの誤差は波動関数の誤差の2乗であり、σ\sigma は波動関数の誤差の1乗程度なので、σ\sigma の1乗の評価は粗すぎる。次の Temple の不等式は、第2の固有値についての情報を少し使う代わりに、σ2\sigma^2 の評価を与える。

定理 4.12（Temple の不等式 ★★）

E0E_0 を HH の最低固有値とし、E0E_0 の次のスペクトルの点が ε\varepsilon 以上であるような数 ε\varepsilon を知っているとする。ψ~∈D(H)\tilde\psi\in\mathcal{D}(H)、∥ψ~∥=1\lVert \tilde\psi\rVert =1 で ⟨H⟩<ε\langle H \rangle <\varepsilon ならば

⟨H⟩−σ2ε−⟨H⟩ ≤ E0 ≤ ⟨H⟩.(4.9)\langle H \rangle -\frac{\sigma^2}{\varepsilon -\langle H \rangle }\ \le\ E_0\ \le\ \langle H \rangle .\tag{4.9}

証明

右の不等式は変分原理である。左を示す。スペクトルの点 λ\lambda は λ=E0\lambda=E_0 か λ≥ε\lambda\ge\varepsilon のどちらかなので、いずれの場合も (λ−E0)(λ−ε)≥0(\lambda-E_0)(\lambda-\varepsilon )\ge0 である。スペクトル分解で期待値をとると

⟨ψ~, (H−E0)(H−ε)ψ~⟩=⟨H2⟩−(E0+ε)⟨H⟩+E0ε≥0.\langle \tilde\psi,\,(H-E_0)(H-\varepsilon )\tilde\psi\rangle =\langle H^2 \rangle -(E_0+\varepsilon )\langle H \rangle +E_0\varepsilon \ge0 .

E0E_0 について整理すると E0(ε−⟨H⟩)≥ε⟨H⟩−⟨H2⟩E_0(\varepsilon -\langle H \rangle )\ge\varepsilon \langle H \rangle -\langle H^2 \rangle。仮定 ε−⟨H⟩>0\varepsilon -\langle H \rangle >0 で割り、⟨H2⟩=σ2+⟨H⟩2\langle H^2 \rangle =\sigma^2+\langle H \rangle ^2 を代入するとE0≥(ε⟨H⟩−⟨H⟩2−σ2)/(ε−⟨H⟩)=⟨H⟩−σ2/(ε−⟨H⟩)E_0\ge\bigl(\varepsilon \langle H \rangle -\langle H \rangle ^2-\sigma^2\bigr)/(\varepsilon -\langle H \rangle )=\langle H \rangle -\sigma^2/(\varepsilon -\langle H \rangle )。

Temple の不等式の使い方と弱点

ε\varepsilon には第2固有値 E1E_1 の下界が要る。E1E_1 の上界なら Rayleigh–Ritz で簡単に得られるが、下界は一般に難しい。対称性で E1E_1 を遠ざける（例えば ss 状態だけの部分空間で考えれば、比べる相手は次の ss 状態になる）、別の簡単な比較問題から下界を借りる、といった工夫が必要になる。またこの評価には ⟨H2⟩\langle H^2 \rangle、すなわち ∥Hψ~∥2\lVert H\tilde\psi\rVert ^2 が要る。ψ~\tilde\psi が HH の定義域に入っていない（例えばカスプ条件を破っていて Hψ~H\tilde\psi が 1/r1/r の特異性を持つ）と、⟨H2⟩\langle H^2 \rangle が大きくなり、評価は急に弱くなる。この点は次節で数値で確かめる。

例題 4.4　スレーター型試行関数の Temple 下界 ★★

オリジナル水素原子（原子単位、H=−12Δ−1rH=-\frac12\Delta-\frac1r）の基底状態を、試行関数 ψ~ζ=ζ3/π e−ζr\tilde\psi_\zeta=\sqrt{\zeta^3/\pi}\,\mathrm{e}^{-\zeta r} で近似する。

  1. Hψ~ζ=(−ζ22+ζ−1r)ψ~ζH\tilde\psi_\zeta=\bigl(-\tfrac{\zeta^2}{2}+\tfrac{\zeta-1}{r}\bigr)\tilde\psi_\zeta を示し、⟨H⟩\langle H \rangle と σ2\sigma^2 を求めよ。ただし ⟨1/r⟩=ζ\langle 1/r \rangle =\zeta、⟨1/r2⟩=2ζ2\langle 1/r^2 \rangle =2\zeta^2 を使ってよい。
  2. ζ=0.9\zeta=0.9 のとき、ss 状態の第2固有値 −1/8-1/8 を ε\varepsilon にとって、Temple 下界と Weinstein の区間を求めよ。
解答

(1) 動径関数 f(r)=e−ζrf(r)=\mathrm{e}^{-\zeta r} について Δf=f′′+2rf′=(ζ2−2ζr)f\Delta f=f''+\frac{2}{r}f'=\bigl(\zeta^2-\frac{2\zeta}{r}\bigr)f。よってHψ~ζ=(−ζ22+ζr−1r)ψ~ζH\tilde\psi_\zeta=\bigl(-\frac{\zeta^2}{2}+\frac{\zeta}{r}-\frac1r\bigr)\tilde\psi_\zeta。期待値をとって⟨H⟩=−ζ22+(ζ−1)ζ=ζ22−ζ\langle H \rangle =-\frac{\zeta^2}{2}+(\zeta-1)\zeta=\frac{\zeta^2}{2}-\zeta。また

⟨H2⟩=∥Hψ~ζ∥2=ζ44−ζ2(ζ−1)⟨1r⟩+(ζ−1)2⟨1r2⟩=ζ44−ζ3(ζ−1)+2ζ2(ζ−1)2.\langle H^2 \rangle =\lVert H\tilde\psi_\zeta\rVert ^2=\frac{\zeta^4}{4}-\zeta^2(\zeta-1)\langle \tfrac1r \rangle +(\zeta-1)^2\langle \tfrac{1}{r^2} \rangle =\frac{\zeta^4}{4}-\zeta^3(\zeta-1)+2\zeta^2(\zeta-1)^2 .

⟨H⟩2=ζ44−ζ3+ζ2\langle H \rangle ^2=\frac{\zeta^4}{4}-\zeta^3+\zeta^2 を引くと、σ2=ζ4−2ζ3+ζ2=ζ2(ζ−1)2\sigma^2=\zeta^4-2\zeta^3+\zeta^2=\zeta^2(\zeta-1)^2、すなわち σ=ζ∣ζ−1∣\sigma=\zeta\lvert \zeta-1\rvert。ζ=1\zeta=1 で σ=0\sigma=0 となり、厳密な固有関数であることと整合する。

(2) ζ=0.9\zeta=0.9 で ⟨H⟩=0.405−0.9=−0.495\langle H \rangle =0.405-0.9=-0.495、σ2=0.81×0.01=0.0081\sigma^2=0.81\times0.01=0.0081。ε=−1/8\varepsilon =-1/8 とすると ε−⟨H⟩=0.37>0\varepsilon -\langle H \rangle =0.37>0 なのでTemple の不等式が使えて

−0.495−0.00810.37=−0.51689 ≤ E0 ≤ −0.495.-0.495-\frac{0.0081}{0.37}=-0.51689\ \le\ E_0\ \le\ -0.495 .

真の値 −0.5-0.5 はこの区間に入っている。Weinstein の区間は [−0.495−0.09, −0.495+0.09]=[−0.585, −0.405][-0.495-0.09,\,-0.495+0.09]=[-0.585,\,-0.405] で、幅は Temple の約4倍ある。上界の誤差 0.0050.005 に対して Temple 下界の誤差は 0.0170.017 で、同じ桁に収まっている（検算スクリプト）。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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