この章のまとめ

(1) $\bm{h}=0$、$T_1=1/\Gamma$、$T_2=2/\Gamma$ で、初めの $\bm{r}(0)=(1,0,0)$ から $r_x(t)=\mathrm{e}^{-\Gamma t/2}$、$r_y=0$、$r_z(t)=-1+(0+1)\mathrm{e}^{-\Gamma t}$。$\Gamma t=\ln2$ では $\bm{r}=(1/\sqrt2,\,0,\,-\tfrac12)$。振幅減衰では $\gamma=1-\mathrm{e}^{-\Gamma t}=\tfrac12$ と取る（衝突模型の $N$ 段の積が $\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ になることから、時刻 $t$ の写像は $1-\gamma=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ の振幅減衰）。例題 4.5.1 と同じ計算で $\rho_{ee}=\tfrac12(1-\gamma)=\tfrac14$、$\rho_{eg}=\tfrac12\sqrt{1-\gamma}=1/(2\sqrt2)$ となり、$r_x=1/\sqrt2$、$r_z=2\cdot\tfrac14-1=-\tfrac12$ で一致する。

(2) $\lvert \bm{r}\rvert ^2=\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34$、純粋度 $(1+\tfrac34)/2=\tfrac78$。固有値は $(1\pm\lvert \bm{r}\rvert )/2=(1\pm\sqrt3/2)/2=0.9330,\ 0.0670$ で、$S(\hat\rho)=-0.9330\ln0.9330-0.0670\ln0.0670=0.0647+0.1811=0.246$（nat）。

(3) 全体の状態は $\hat K_0| + \rangle \otimes| 0 \rangle _{\mathrm E}+\hat K_1| + \rangle \otimes| 1 \rangle _{\mathrm E}=\tfrac1{\sqrt2}\big(| g \rangle +\tfrac1{\sqrt2}| e \rangle \big)| 0 \rangle _{\mathrm E}+\tfrac12| g \rangle | 1 \rangle _{\mathrm E}$（$\hat K_1$ の位相は省く）。全体は純粋なので、第4部第2章の Schmidt 分解により原子の縮約状態と環境の縮約状態は同じ0でない固有値を持ち、$S(\hat\rho_{\mathrm E})=S(\hat\rho)=0.246$。原子が失った純粋さは、環境とのもつれとしてそのまま環境側にある。光子が出ている確率は $\lVert \tfrac12| g \rangle \rVert ^2=\tfrac14$（$=\gamma/2$）。

(4) 結果「鳴らない」の Kraus 演算子は $\hat K_0$ で、POVM の要素は $\hat E_0=\hat K_0^\dagger\hat K_0=| g \rangle \langle g |+\tfrac12| e \rangle \langle e |$。確率は $\langle + | \hat E_0 | + \rangle =\tfrac34$。測定後の状態は $\hat K_0| + \rangle /\lVert \hat K_0| + \rangle \rVert =(| g \rangle +\tfrac1{\sqrt2}| e \rangle )/\sqrt{3/2}$ で純粋、$P_e=\tfrac12/\tfrac32=\tfrac13$ に下がる。光子が出なかったという「何も起きなかった」記録でも、原子は基底状態の側へ寄る。全体のアンサンブル $\tfrac34\times(\text{この純粋状態})+\tfrac14| g \rangle \langle g |$ を作ると (1) の $\hat\rho$ に戻る（$\rho_{ee}=\tfrac34\cdot\tfrac13=\tfrac14$）。

(5) $\bar n=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_0}-1)=\tfrac13$ から $\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_0}=4$、$\beta\hbar\omega_0=\ln4=1.386$。定常の $P_e=\bar n/(2\bar n+1)=\tfrac13/\tfrac53=\tfrac15$、$P_g=\tfrac45$。$T_1=1/[\Gamma(2\bar n+1)]=3/(5\Gamma)$、$T_2=2T_1=6/(5\Gamma)$。詳細つり合いは「下がる流れ $\Gamma(\bar n+1)P_e=\Gamma\cdot\tfrac43\cdot\tfrac15=\tfrac4{15}\Gamma$」と「上がる流れ $\Gamma\bar nP_g=\Gamma\cdot\tfrac13\cdot\tfrac45=\tfrac4{15}\Gamma$」が等しいことで、$P_e/P_g=\tfrac14=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}$ は第4部第4章の Gibbs 状態の比である。熱浴の中の Lindblad 方程式は、どの初めの状態も第4部第4章の $\hat\rho_\beta$ へ運ぶ。