この章のまとめ

(1) 飛び出した電子の波数の大きさは $K=\sqrt{2mE_{\mathrm{kin}}}/\hbar$ で、$E_{\mathrm{kin}}=14.70\,\mathrm{eV}$ では $K=1.964\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$ である。$\theta=0^\circ$ の山は $k_\parallel=0$、$\theta=53.1^\circ$ の山は $k_\parallel=1.964\times10^{10}\times\sin53.1^\circ=1.571\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$ である。同じエネルギーのいちばん深い山が2つの $k_\parallel$ に現れ、その間ではどこでも浅いので、2つは逆格子ベクトルだけ違う同じ状態で、その差が最小の逆格子ベクトル $2\pi/a$ である。よって $a=2\pi/(1.571\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}})=0.400\,\mathrm{nm}$、$\pi/a=7.854\times10^{9}\,\mathrm{m^{-1}}$ である。(c) の山は $K=1.991\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$（$E_{\mathrm{kin}}=15.11\,\mathrm{eV}$）から $k_\parallel=1.991\times10^{10}\times\sin45^\circ=1.408\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}=1.793\,\pi/a$ で、第1 Brillouin 域の外にある。$2\pi/a$ を引くと $k_\parallel-2\pi/a=-0.207\,\pi/a=-1.63\times10^{9}\,\mathrm{m^{-1}}$ で、これが域の中の代表である。

(2) (b) の山の $E_{\mathrm{kin}}=16.70\,\mathrm{eV}$ では $K=2.094\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$ で、$k_{\mathrm F}=2.094\times10^{10}\times\sin10.8^\circ=3.92\times10^{9}\,\mathrm{m^{-1}}=0.500\,\pi/a$ である。$\varepsilon (k)$ は $k$ について偶関数なので、埋まっているのは $-\pi/(2a)<k<\pi/(2a)$、すなわち Brillouin 域のちょうど半分で、バンドは半分埋まっている（原子1個あたり電子1個）。$ka=\pi/2$ では $\cos ka=0$ なので Fermi 準位はバンドの中央 $\varepsilon _{\mathrm a}$ にあり、$k=0$ のバンドの底 $\varepsilon _{\mathrm a}-2t$ は Fermi 準位より $2t$ 下にある。(a) の山の結合エネルギーは $16.70-14.70=2.00\,\mathrm{eV}$ なので $t=1.00\,\mathrm{eV}$、バンドの幅は $4t=4.0\,\mathrm{eV}$ である。上半分は空なので ARPES には見えず、幅は模型を通して読んだ値である。(c) の山の結合エネルギーは $16.70-15.11=1.59\,\mathrm{eV}$ で、模型の予言 $\varepsilon _{\mathrm F}-\varepsilon (k)=2t\cos(0.207\pi)=1.59\,\mathrm{eV}$ と合う。

(3) 交換子の行列要素は $\langle j | \left[\hat x,\,\hat H\right] | j' \rangle =(j-j')a\langle j | \hat H | j' \rangle$ で、$0$ でないのは $j'=j\pm1$（$\langle j | \hat H | j\pm1 \rangle =-t$）の項だけである。したがって

$$\begin{aligned}\langle k | \left[\hat x,\,\hat H\right] | k \rangle &=\frac1N\sum_{j}\Bigl[\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kja}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(j+1)a}(-a)(-t)+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kja}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(j-1)a}(a)(-t)\Bigr]\\ &=ta\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}\bigr)=2\mathrm{i} ta\sin(ka)\end{aligned}$$

で、$\mathrm{i}\hbar$ で割ると $\langle \hat p \rangle /m=2ta\sin(ka)/\hbar$ である。一方 $\hbar^{-1}\mathrm{d}\varepsilon /\mathrm{d} k=\hbar^{-1}\mathrm{d}(\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos ka)/\mathrm{d} k=2ta\sin(ka)/\hbar$ で、定理 2.4.3 と一致する。速さは $ka=\pi/2$ で最大の $2ta/\hbar=2\times(1.602\times10^{-19}\,\mathrm J)\times(0.400\times10^{-9}\,\mathrm m)/(1.0546\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s})=1.22\times10^{6}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ になる。この鎖では Fermi 準位がちょうど $ka=\pi/2$ にあるので、Fermi 準位の電子の速さがバンドの中での最大値 $1.22\times10^{6}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ に一致する。

(4) (i) 波長は $1239.84\,\mathrm{eV\,nm}/2.0\,\mathrm{eV}=620\,\mathrm{nm}$、光の波数は $q=2\pi/\lambda=1.01\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}$ で、$q/(\pi/a)=1.29\times10^{-3}$ である。$k$ は域の端までの $0.13\%$ しか変わらず、遷移はほぼ縦になる。

(ii) $k=0.8\pi/a$ の準位は $\varepsilon -\varepsilon _{\mathrm F}=-2t\cos(0.8\pi)=1.62\,\mathrm{eV}$ にある。フォノンを吸収すると $k+q=1.2\pi/a$ で、第1 Brillouin 域の外に出る。式 (2.4.12) の $G=-2\pi/a$ を足して域の中へ戻すと $k'=-0.8\pi/a$ で、これは $G\neq0$ の Umklapp 過程である。$\varepsilon$ は $k$ について偶関数なので $\varepsilon (k')=\varepsilon (k)$ で、フォノンのエネルギーを無視した近似の中でエネルギーも保存している。速度は $2ta\sin(ka)/\hbar$ から $+7.14\times10^{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ が $-7.14\times10^{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ に変わり、電子は向きを反転する。波数 $0.4\pi/a$ のフォノン1個で向きが逆になるのは、差の $\hbar G$ を格子全体が受け取るからである。$G=0$ の過程でこの終状態へ移るには $q=-1.6\pi/a$ が要るが、これは第1 Brillouin 域の外の波数で、$G$ を法として $0.4\pi/a$ と同じフォノンである。電子の向きを大きく変える Umklapp 過程が電流を減らし、電気抵抗の原因になる（第4部）。