授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第4章 §2.4.6　★★ 教科書の2通りの証明（並進の固有値・中心方程式）と、還元域・拡張域の描き方、1次元の転送行列の判定 $\lvert \tfrac12\operatorname{Tr} M\rvert \le1$ を、この章の式と並べる

学部の固体物理の授業では、Bloch の定理は次の2通りのどちらかで証明されることが多い。

並進の固有値による証明。並進演算子の固有値を $c(\bm{R})$ と書き、$c(\bm{R}+\bm{R}')=c(\bm{R})c(\bm{R}')$ と周期境界条件から $c(\bm{R})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}$ を導く流儀である。この章の第2節と同じ議論で、違いは並進の向きの定義だけである。多くの教科書は $\hat T_{\bm{R}}\psi(\bm{r})=\psi(\bm{r}+\bm{R})$（関数を $-\bm{R}$ の向きへずらす）と定義するので、固有値が $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}$ になる。この章の式 (2.4.1) はその逆向きで、固有値は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}$ だが、どちらの定義でも結論の形 (a) $\psi(\bm{r}+\bm{R})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}\psi(\bm{r})$ は同じである。

Fourier 級数による証明。ポテンシャルと波動関数を平面波で展開し、中心方程式 (2.4.10) の係数が $\bm{k}+\bm{G}$ どうしでしか結ばれないことから$\psi_{\bm{k}}=\sum_{\bm{G}}c_{\bm{k}+\bm{G}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}+\bm{G})\cdot\bm{r}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u(\bm{r})$ を読み取る流儀である。この章の第3節の最後の小節に当たる。証明としては、無限個の平面波の和の収束を別に議論する必要がある点で、並進の固有値による証明より手間がかかる。

バンドの描き方。授業では同じバンドを3通りに描く。還元域の描き方は、すべての $\varepsilon _n(\bm{k})$ を第1 Brillouin 域の中に重ねて描くもので、図 2.4.1 がこれである。拡張域の描き方は、$n$ 番目のバンドを $n$ 番目の Brillouin 域に置いて、自由電子の放物線に沿うように1本の曲線として描くもの、周期域の描き方は、命題 2.4.2 (1) を使って各バンドを全 $\bm{k}$ 空間に周期的に描くものである。3つは同じ関数の描き方の違いで、物理の内容は変わらない。

1次元の転送行列。1次元では、Schrödinger 方程式 $-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=\varepsilon \psi$ の2つの独立な解 $\psi_1,\psi_2$（$x=0$ で $\psi_1=1,\psi_1'=0$、$\psi_2=0,\psi_2'=1$）を1周期だけ追い、

$$M(\varepsilon )=\begin{pmatrix}\psi_1(a)&\psi_2(a)\\ \psi_1'(a)&\psi_2'(a)\end{pmatrix}$$

（転送行列、常微分方程式の理論では monodromy 行列）を作る。$V$ の周期性から、$x=0$ での $(\psi,\psi')$ を $M$ に掛けると $x=a$ での値になり、Wronskian が一定であることから $\det M=1$ である。Bloch 関数は $M$ の固有ベクトルで、固有値は $\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}$ である。$\det M=1$ なので2つの固有値の積は1で、和は $\operatorname{Tr} M$ だから

$$\cos(ka)=\frac12\operatorname{Tr} M(\varepsilon )\tag{2.4.16}$$

になる。$\lvert \frac12\operatorname{Tr} M(\varepsilon )\rvert \le1$ を満たす $\varepsilon$ は実数の $k$ を持ちバンドの中に、$\lvert \frac12\operatorname{Tr} M(\varepsilon )\rvert >1$ の $\varepsilon$ は $k$ が複素数になってギャップの中にある。授業で Kronig–Penney 模型のバンドを $\cos(ka)=(\text{右辺の式})$ の形で求めるのは、この式を井戸と障壁の組で具体的に書いたものである（第2部第5章）。図 2.4.1 の模型で、平面波で出した $\varepsilon _n(k)$ を式 (2.4.16) の右辺に入れると、$ka=0.2\pi,0.5\pi,0.8\pi$ の第1・第2のバンドのどれでも左辺と $10^{-7}$ の精度で一致する。2つの方法は互いに独立な計算なので、この一致はバンドの数値の確かめになる。