相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部 第5章 §7.5.6 ★★ 量子情報の授業の CKW の不等式（concurrence の2乗）と、この章のエントロピーの形を並べる。一般相対論の授業の等価原理は仮定1の古典版
CKW の不等式
量子情報の授業では、もつれの一夫一婦制を Coffman・Kundu・Wootters（CKW）の不等式で習うことが多い1 1 V. Coffman, J. Kundu and W. K. Wootters (2000), Phys. Rev. A 61, 052306.
C ( ρ ^ B R ) 2 + C ( ρ ^ B C ) 2 ≤ 4 det ρ ^ B (7.5.14) C(\hat\rho_{BR})^2+C(\hat\rho_{BC})^2\le4\det\hat\rho_B\tag{7.5.14} C ( ρ ^ B R ) 2 + C ( ρ ^ B C ) 2 ≤ 4 det ρ ^ B ( 7.5.14 )
で、C ( ⋅ ) C(\cdot) C ( ⋅ ) 第3部第4章 ）、右辺は B B B
表 7.5.2 一夫一婦制の2つの書き方 CKW の不等式 この章（エントロピーの形） 量 concurrence の2乗（tangle） 相互情報量 I ( B ; X ) I(B;X) I ( B ; X ) 上限 4 det ρ ^ B 4\det\hat\rho_B 4 det ρ ^ B B B B 2 S ( B ) 2S(B) 2 S ( B ) 古典的な相関 数えない（GHZ の2量子ビット部分は C = 0 C=0 C = 0 数える（GHZ で I = ln 2 I=\ln2 I = ln 2 適用範囲 量子ビット（一般の次元では成り立たない例がある） 任意の次元・任意の状態 出どころ 2量子ビットの代数 相対エントロピーの単調性
AMPS の議論にはエントロピーの形が向いている。Hawking 放射のモードは量子ビットでなく無限次元の振動子で、純粋性の仮定も Page 曲線というエントロピーの言葉で述べられているからである。
等価原理と Minkowski 真空
一般相対論の授業では、等価原理を「自由落下する観測者の近くでは、重力の効果を座標変換で消せる（局所慣性系）」と習い、地平面は Kruskal 座標で見ると計量がなめらかで特別な場所でない、と習う（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第17章 ）。これは古典の言明で、仮定1はその量子版である。場の量子論の授業で習う Unruh 効果「加速する観測者は Minkowski 真空を温度 T U = ℏ a / ( 2 π c k B ) T_{\mathrm U}=\hbar a/(2\pi c k_{\mathrm B}) T U = ℏ a / ( 2 π c k B ) B B B B C BC B C
授業： d s 2 = 4 r s 3 r e − r / r s ( d T 2 − d X 2 ) − ⋯ は r = r s でなめらか ⟷ この章： I ( B ; C ) = 2 S ( B ) 授業： ⟨ b ^ † b ^ ⟩ = 1 e ℏ Ω / ( k B T U ) − 1 ⟷ この章： ρ ^ B = Tr C ∣ Ψ B C ⟩ ⟨ Ψ B C ∣ , ⟨ d ^ † d ^ ⟩ = 0 \begin{gathered}\text{授業：}\ \mathrm{d} s^2=\frac{4r_{\mathrm s}^3}{r}\mathrm{e}^{-r/r_{\mathrm s}}(\mathrm{d} T^2-\mathrm{d} X^2)-\cdots\ \text{は } r=r_{\mathrm s}\text{ でなめらか}
\quad\longleftrightarrow\quad \text{この章：}\ I(B;C)=2S(B)\\[6pt]
\text{授業：}\ \langle \hat b^\dagger\hat b \rangle =\frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar\Omega/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm U})}-1}
\quad\longleftrightarrow\quad \text{この章：}\ \hat\rho_B=\operatorname{Tr}_C| \Psi_{BC} \rangle \langle \Psi_{BC} |,\ \ \langle \hat d^\dagger\hat d \rangle =0\end{gathered} 授業： d s 2 = r 4 r s 3 e − r / r s ( d T 2 − d X 2 ) − ⋯ は r = r s でなめらか ⟷ この章： I ( B ; C ) = 2 S ( B ) 授業： ⟨ b ^ † b ^ ⟩ = e ℏΩ/ ( k B T U ) − 1 1 ⟷ この章： ρ ^ B = Tr C ∣ Ψ B C ⟩ ⟨ Ψ B C ∣ , ⟨ d ^ † d ^ ⟩ = 0
例題 7.5.6 W 状態での2つの一夫一婦制 ★★
オリジナル W 状態 ∣ W ⟩ = ( ∣ 100 ⟩ + ∣ 010 ⟩ + ∣ 001 ⟩ ) R B C / 3 | W \rangle =(| 100 \rangle +| 010 \rangle +| 001 \rangle )_{RBC}/\sqrt3 ∣ W ⟩ = ( ∣100 ⟩ + ∣010 ⟩ + ∣001 ⟩ ) R B C / 3 C = 2 / 3 C=2/3 C = 2/3
(1) CKW の不等式 (7.5.14) の両辺を求めよ。(2) S ( B ) S(B) S ( B ) I ( B ; R ) I(B;R) I ( B ; R ) I ( B ; C ) I(B;C) I ( B ; C ) (7.5.8) の両辺を比べよ。(3) GHZ 状態で CKW の両辺を求め、(1) と比べよ。
解答 (1) ρ ^ B = d i a g ( 2 / 3 , 1 / 3 ) \hat\rho_B=\mathrm{diag}(2/3,1/3) ρ ^ B = diag ( 2/3 , 1/3 ) 4 det ρ ^ B = 8 / 9 4\det\hat\rho_B=8/9 4 det ρ ^ B = 8/9 ( 2 / 3 ) 2 + ( 2 / 3 ) 2 = 8 / 9 (2/3)^2+(2/3)^2=8/9 ( 2/3 ) 2 + ( 2/3 ) 2 = 8/9
(2) S ( B ) = h b ( 1 / 3 ) = 0.6365 S(B)=h_{\mathrm b}(1/3)=0.6365 S ( B ) = h b ( 1/3 ) = 0.6365 ρ ^ B R \hat\rho_{BR} ρ ^ B R ρ ^ C \hat\rho_C ρ ^ C ( 2 / 3 , 1 / 3 ) (2/3,1/3) ( 2/3 , 1/3 ) S ( B R ) = 0.6365 S(BR)=0.6365 S ( B R ) = 0.6365 I ( B ; R ) = 0.6365 + 0.6365 − 0.6365 = 0.6365 I(B;R)=0.6365+0.6365-0.6365=0.6365 I ( B ; R ) = 0.6365 + 0.6365 − 0.6365 = 0.6365 I ( B ; C ) I(B;C) I ( B ; C ) 1.2730 1.2730 1.2730 2 S ( B ) = 1.2730 2S(B)=1.2730 2 S ( B ) = 1.2730 S ( B ∣ R ) = S ( C ) − S ( R ) S(B\,|\,R)=S(C)-S(R) S ( B ∣ R ) = S ( C ) − S ( R ) S ( B ∣ C ) = S ( R ) − S ( C ) S(B\,|\,C)=S(R)-S(C) S ( B ∣ C ) = S ( R ) − S ( C ) 0 0 0
(3) GHZ 状態の2量子ビット部分 1 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) \frac12(| 00 \rangle \langle 00 |+| 11 \rangle \langle 11 |) 2 1 ( ∣00 ⟩ ⟨ 00∣ + ∣11 ⟩ ⟨ 11∣ ) C = 0 C=0 C = 0 4 det ( 1 / 2 ) = 1 4\det(\mathbf 1/2)=1 4 det ( 1 /2 ) = 1 0 < 1 0<1 0 < 1
1 V. Coffman, J. Kundu and W. K. Wootters (2000), Phys. Rev. A 61, 052306.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
