この章のまとめ

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第7部第5章ファイアウォール

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部第5章 §7.5.7　★★★ 3つの仮定は相互情報量の値の指定で、その和が単調性から出る上限を超える。どれを捨てても何かの原理を手放す

比べた状態は、早い放射 $R$ ・遅いモード $B$ ・内側の相手 $C$ の結合状態と、2つずつを切り離した積の状態で、その相対エントロピーが $I(B;R)$ と $I(B;C)$ だった。地平面では何も起きないという仮定は $B$ と $C$ を熱場二重状態に置いて $I(B;C)=2S(B)$ を要求し、放射は純粋という仮定は Page 時間の後に $I(B;R)\approx2S(B)$ を要求する。

当てた性質は、相対エントロピーが部分トレースで増えないことで、ここから強劣加法性・弱単調性を経て、一夫一婦制の不等式 $I(B;R)+I(B;C)\le2S(B)$ が出た。3つの仮定は和 $4S(B)$ を要求し、上限を超える（AMPS の矛盾）。同じ不等式から、放射のエントロピーの増え方は $S(RB)-S(R)\ge S(B)-2S(BC)$ で押さえられ、地平面の真空からの小さなずれでは Page 曲線の折り返しを作れないことも分かった。仮定1を捨てると、落ちる観測者は1つのモードあたり $\bar n(\bar n+2)$ 個以上の粒子を数え、地平面の近くではそのエネルギーが青方偏移で大きくなってファイアウォールになる。相補性と ER = EPR は、 $R$ と $C$ を別々の系として扱う前提を疑う立場で、島の公式がその半古典的な根拠を与えた。

次の第7部第6章（第7部第6章）では、内部の情報が境界や放射の自由度にどう「含まれる」のかを、量子誤り訂正符号の言葉で書く（第7部第6章の定理 7.6.2）。この章の最後の逃げ道を、具体的な符号の構造として調べることになる。

この章の道具

一夫一婦制： $I(B;R)+I(B;C)=2S(B)-[S(B\,|\,R)+S(B\,|\,C)]\le2S(B)$ （弱単調性）。
地平面の真空： $| \Psi_{BC} \rangle =\sqrt{1-q^2}\sum q^n| n \rangle | n \rangle$ 、 $I(B;C)=2S(B)$ 、 $S(B)=(\bar n+1)\ln(\bar n+1)-\bar n\ln\bar n$ 。
純粋性：Page 時間の後 $S(B\,|\,R)\approx-S(B)$ 、 $I(B;R)\approx2S(B)$ 。
小さな補正： $S(RB)-S(R)\ge S(B)-2S(BC)$ 。
ファイアウォール： $I(B;C)=0$ なら $\langle \hat d^\dagger\hat d \rangle =\bar n(\bar n+m+2)$ （ $m=\langle \hat c^\dagger\hat c \rangle$ ）、局所の温度 $T_{\mathrm{loc}}=\hbar c/(2\pi k_{\mathrm B}\varrho)$ 。

総合問題　Page 時間の後の1モードの勘定 ★★★

オリジナル質量の大きな Schwarzschild ブラックホールが Page 時間を過ぎて蒸発を続けている。いま地平面のすぐ外にある遅いモード $B$ と、その内側の相手 $C$ 、それまでの放射 $R$ を考える。

(1) （使う道具：7.5.1節／解析力学から様々な理論分野を組み立てる第5部第12章） $B$ と $C$ が熱場二重状態で $\nu=0.2$ のとき、 $S(B)$ と $I(B;C)$ を求めよ。
(2) （使う道具：7.5.3節／第7部第3章） $B$ を量子ビット1個で表す模型を考える。全体 $N=12$ 個の量子ビットのうち $k=8$ 個が出た後、 $S(R_k)\approx\min(k,N-k)\ln2$ という Page の近似で $I(B;R_8)$ を求めよ。
(3) （使う道具：7.5.2節／第3部第3章）(2) の結果と一夫一婦制から、 $B$ と $C$ の相互情報量に許される値を求めよ。
(4) （使う道具：7.5.4節）(1) のモードで $I(B;C)=0$ とし、 $C$ が $B$ と同じ熱状態にあるとき、落ちる観測者が数える粒子の数 $\langle \hat d^\dagger\hat d \rangle$ を求めよ。
(5) （使う道具：7.5.3節）放射のエントロピーが $B$ の分 $\ln2$ だけ減るためには、 $S(BC)$ はいくら以上でなければならないか。量子ビット模型で答えよ。
(6) （使う道具：7.5.5節／解析力学から様々な理論分野を組み立てる第5部第12章）太陽質量 $M=1.98847\times10^{30}\,\mathrm{kg}$ のブラックホールについて、 $S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}=4\pi GM^2/(\hbar c)$ 、蒸発の時間 $t_{\mathrm{ev}}=5120\pi G^2M^3/(\hbar c^4)$ を Planck 時間 $t_{\mathrm P}=\sqrt{\hbar G/c^5}$ で割ったもの、 $\mathrm{e}^{S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}}$ の常用対数を求め、Harlow–Hayden の議論の時間の比べ方を説明せよ。

解答

(1) 例題 7.5.1 と同じで、 $\bar n=0.3978$ 、 $S(B)=0.8349$ nat、 $I(B;C)=1.670$ nat。

(2) $S(R_8)\approx4\ln2$ 、 $S(R_8B)=S(R_9)\approx3\ln2$ 、 $S(B)=\ln2$ なので $I(B;R_8)\approx(1+4-3)\ln2=2\ln2$ 。Page の平均の厳密な値では $1.9657\ln2$ （例題 7.5.3）。

(3) $I(B;C)\le2S(B)-I(B;R_8)\approx2\ln2-2\ln2=0$ 。 $B$ と $C$ は相関を持てず、 $\hat\rho_{BC}=\hat\rho_B\otimes\hat\rho_C$ でなければならない。地平面の真空が要求する $2\ln2$ とは両立しない。

(4) 式 (7.5.12) で $m=\bar n$ とおき $2\bar n(\bar n+1)=2\times0.3978\times1.3978=1.112$ 個。地平面の真空なら $0$ 個である。

(5) 命題 7.5.2 で $S(RB)-S(R)=-\ln2$ 、 $S(B)=\ln2$ とおくと $-\ln2\ge\ln2-2S(BC)$ 、つまり $S(BC)\ge\ln2$ 。2量子ビットの $BC$ が少なくとも1量子ビット分の最大の混ざり方をしていなければならず、純粋な熱場二重状態からの「小さな」ずれではない。

(6) $GM^2=6.6743\times10^{-11}\times(1.98847\times10^{30})^2$ から $S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}=1.049\times10^{77}$ 。 $t_{\mathrm P}=5.391\times10^{-44}\,\mathrm s$ 、 $t_{\mathrm{ev}}=6.61\times10^{74}\,\mathrm s$ （ $2.10\times10^{67}$ 年）で、 $t_{\mathrm{ev}}/t_{\mathrm P}=1.23\times10^{118}$ 。これは $361\,(S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B})^{3/2}$ に等しい（ $5120\pi/(4\pi)^{3/2}=361.08$ ）。一方 $\log_{10}\mathrm{e}^{S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}}=S_{\mathrm{BH}}/( k_{\mathrm B}\ln10)=4.56\times10^{76}$ で、 $\mathrm{e}^{S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}}$ は $10^{4.56\times10^{76}}$ である。Planck 時間を単位にしても、指数関数的な取り出しの時間は蒸発の時間（ $10^{118}$ ）と比べようもなく長い。Harlow–Hayden の議論は、取り出しの時間が $\mathrm{e}^{S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}}$ の程度で、べき $(S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B})^{3/2}$ の蒸発の時間を必ず超える、という比べ方である。

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