この章のまとめ

(1) 相互作用 $-J\bm{n}_i\cdot\bm{n}_j$ を $\bm{n}_j$ について平均すると $-Jm\,\bm{n}_i\cdot\bm{e}_z=-Jm\cos\theta_i$。隣が $z$ 個あるので、式 (3.7.8) から

$$h^{\mathrm{eff}}=\frac{p_\theta^2}{2I}+\frac{p_\varphi^2}{2I\sin^2\theta}-(zJm+b)\cos\theta .$$

運動エネルギーの部分は、球面の上の自由な回転子の Hamiltonian（$L=\frac I2(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2)$ の Legendre 変換）そのもので、平均場の近似は位置エネルギーの部分だけを変える。

(2) $\theta$ を止めて運動量で積分すると、$\int\mathrm{e}^{-\beta p_\theta^2/2I}\mathrm{d} p_\theta=\sqrt{2\pi I k_{\mathrm B} T}$、$\int\mathrm{e}^{-\beta p_\varphi^2/(2I\sin^2\theta)}\mathrm{d} p_\varphi=\sqrt{2\pi I k_{\mathrm B} T}\sin\theta$ で、積は $2\pi I k_{\mathrm B} T\sin\theta$。運動量の積分から、球面の面積要素 $\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ が出てくる。$x=\beta(zJm+b)$ とおくと

$$Z_1=\frac{2\pi I k_{\mathrm B} T}{h^2}\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm{e}^{x\cos\theta}\mathrm{d}\theta=\frac{8\pi^2I k_{\mathrm B} T}{h^2}\cdot\frac{\sinh x}{x}.$$

$\langle \cos\theta \rangle =\partial\ln Z_1/\partial x=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln\frac{\sinh x}{x}=\coth x-\frac1x=\ell(x)$。

(3) 自己無撞着方程式は $m=\ell\bigl(\beta(zJm+b)\bigr)$。$\ell(x)=\frac x3-\frac{x^3}{45}+\cdots$ で原点での傾きは $1/3$ なので、$b=0$ で $m\neq0$ の解が現れるのは $\beta zJ/3>1$、すなわち

$$k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=\frac{zJ}{3}.$$

Ising 模型の $zJ$ の $1/3$ である。向きが連続な $\bm{n}$ では、$z$ 成分の2乗の平均が $\langle \cos^2\theta \rangle =1/3$ と小さいので、そろえる力が弱い。$T=0.5T_{\mathrm c}$ では $\beta zJ=6$ で、$m=\ell(6m)$ を数値で解いて $m=0.789$（Ising 模型の同じ $T/T_{\mathrm c}$ では $0.958$）。

(4) $\beta zJ=3T_{\mathrm c}/T$ とおき、$\ell$ を3次まで展開すると $m=\frac{T_{\mathrm c}}{T}m-\frac{27}{45}\bigl(\frac{T_{\mathrm c}}{T}\bigr)^3m^3$、よって$m^2=\frac53\bigl(\frac{T_{\mathrm c}}{T}-1\bigr)\bigl(\frac{T}{T_{\mathrm c}}\bigr)^3\approx\frac53\bigl(1-\frac{T}{T_{\mathrm c}}\bigr)$、

$$m\approx\sqrt{5/3}\,\Bigl(1-\frac{T}{T_{\mathrm c}}\Bigr)^{1/2}.$$

$T>T_{\mathrm c}$ では1次の項だけで $m=\frac{\beta}{3}(zJm+b)$、これを解いて

$$\chi=\frac{1}{3 k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c})}.$$

係数（$\sqrt3$ が $\sqrt{5/3}$ に、$1$ が $1/3$ に）は Ising 模型と違うが、指数 $1/2$ と $1$ は同じである。平均場の近似の臨界指数が、スピンの種類によらないことの一例になっている。

(5) 運動エネルギーは運動量の2次式が2つで、等分配則（第3部第6章）により1つの回転子あたり $k_{\mathrm B} T$、比熱 $k_{\mathrm B}$。これは $m$ によらない。相互作用の部分は積の分布で $U_{\mathrm{int}}=-\frac{NzJ}{2}m^2$（$b=0$）。$T>T_{\mathrm c}$ では $0$、$T_{\mathrm c}$ の直下では (4) から$U_{\mathrm{int}}\approx-\frac{NzJ}{2}\cdot\frac53\bigl(1-\frac{T}{T_{\mathrm c}}\bigr)$ で、

$$\frac{\mathrm{d} U_{\mathrm{int}}}{\mathrm{d} T}=\frac{NzJ}{2}\cdot\frac{5}{3T_{\mathrm c}}=\frac{N\cdot3 k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}}{2}\cdot\frac{5}{3T_{\mathrm c}}=\frac52N k_{\mathrm B} .$$

よって1つの回転子あたりの比熱は、$T_{\mathrm c}$ のすぐ上で $k_{\mathrm B}$、すぐ下で $k_{\mathrm B}+\frac52 k_{\mathrm B}=\frac72 k_{\mathrm B}$。跳びは $\frac52 k_{\mathrm B}$ で、Ising 模型の $\frac32 k_{\mathrm B}$ より大きい。運動量の自由度は相互作用に関係しないので、相転移の跳びには加わらない。