相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第2部 第1章 §2.1.4 ★★ 拘束を増やすとグランドカノニカル分布、状態空間に占有数の制限を入れると Fermi 分布と Bose 分布が出る。連続変数では参照測度の選び方が物理の入力になる
粒子数も知っている：グランドカノニカル分布
系が粒子を出し入れできるとき、状態 i i i E i E_i E i N i N_i N i ⟨ E ⟩ = U \langle E \rangle =U ⟨ E ⟩ = U ⟨ N ⟩ = N ˉ \langle N \rangle =\bar N ⟨ N ⟩ = N ˉ
p ( i ) = e − β E i − λ N N i Ξ , Ξ = ∑ i e − β E i − λ N N i (2.1.13) p(i)=\frac{\mathrm{e}^{-\beta E_i-\lambda_NN_i}}{\Xi},\qquad \Xi=\sum_i\mathrm{e}^{-\beta E_i-\lambda_NN_i}\tag{2.1.13} p ( i ) = Ξ e − β E i − λ N N i , Ξ = i ∑ e − β E i − λ N N i ( 2.1.13 )
となる。式 (2.1.10) から ∂ S / ∂ N ˉ = k B λ N \partial S/\partial\bar N= k_{\mathrm B}\lambda_N ∂ S / ∂ N ˉ = k B λ N ∂ S / ∂ N = − μ / T \partial S/\partial N=-\mu/T ∂ S / ∂ N = − μ / T λ N = − β μ \lambda_N=-\beta\mu λ N = − β μ p ( i ) = e − β ( E i − μ N i ) / Ξ p(i)=\mathrm{e}^{-\beta(E_i-\mu N_i)}/\Xi p ( i ) = e − β ( E i − μ N i ) /Ξ − k B T - k_{\mathrm B} T − k B T e − β ( E + P V ) \mathrm{e}^{-\beta(E+PV)} e − β ( E + P V )
占有数：Fermi 分布と Bose 分布
相互作用しない粒子が1粒子状態（軌道）j j j ε j \varepsilon _j ε j ( n 1 , n 2 , … ) (n_1,n_2,\dots) ( n 1 , n 2 , … ) E = ∑ j n j ε j E=\sum_jn_j\varepsilon _j E = ∑ j n j ε j N = ∑ j n j N=\sum_jn_j N = ∑ j n j (2.1.13) の指数は − β ∑ j ( ε j − μ ) n j -\beta\sum_j(\varepsilon _j-\mu)n_j − β ∑ j ( ε j − μ ) n j
p ( n 1 , n 2 , … ) = ∏ j p j ( n j ) , p j ( n ) ∝ e − β ( ε j − μ ) n p(n_1,n_2,\dots)=\prod_jp_j(n_j),\qquad p_j(n)\propto\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon _j-\mu)n} p ( n 1 , n 2 , … ) = j ∏ p j ( n j ) , p j ( n ) ∝ e − β ( ε j − μ ) n
に分かれる。ここで、占有数がとれる値の集合を状態空間に入れておく必要がある。Fermi 粒子なら n ∈ { 0 , 1 } n\in\{0,1\} n ∈ { 0 , 1 } n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } n\in\{0,1,2,\dots\} n ∈ { 0 , 1 , 2 , … }
⟨ n j ⟩ F = 1 e β ( ε j − μ ) + 1 , ⟨ n j ⟩ B = 1 e β ( ε j − μ ) − 1 (2.1.14) \langle n_j \rangle _{\mathrm F}=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon _j-\mu)}+1},\qquad \langle n_j \rangle _{\mathrm B}=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon _j-\mu)}-1}\tag{2.1.14} ⟨ n j ⟩ F = e β ( ε j − μ ) + 1 1 , ⟨ n j ⟩ B = e β ( ε j − μ ) − 1 1 ( 2.1.14 )
となる。最大エントロピー原理そのものには Pauli の排他律は入っていない。粒子の統計は、どの占有数の組を数えるか、すなわち状態空間と参照分布の側に入る。
例題 2.1.4 1つの軌道の占有数 ★★
オリジナル 1つの軌道について、平均の占有数 n ˉ = ⟨ n ⟩ \bar n=\langle n \rangle n ˉ = ⟨ n ⟩
(1) Fermi 粒子（n ∈ { 0 , 1 } n\in\{0,1\} n ∈ { 0 , 1 } h b ( n ˉ ) = − n ˉ ln n ˉ − ( 1 − n ˉ ) ln ( 1 − n ˉ ) h_{\mathrm b}(\bar n)=-\bar n\ln\bar n-(1-\bar n)\ln(1-\bar n) h b ( n ˉ ) = − n ˉ ln n ˉ − ( 1 − n ˉ ) ln ( 1 − n ˉ ) (2.1.10) から求め、β ( ε − μ ) = ln ( ( 1 − n ˉ ) / n ˉ ) \beta(\varepsilon -\mu)=\ln\bigl((1-\bar n)/\bar n\bigr) β ( ε − μ ) = ln ( ( 1 − n ˉ ) / n ˉ ) (2.1.14) が一致することを確かめよ。(2) n ˉ = 0.1 \bar n=0.1 n ˉ = 0.1 n ˉ = 0.5 \bar n=0.5 n ˉ = 0.5 n ˉ = 2 \bar n=2 n ˉ = 2 2.1.3 ）と比べよ。
解答 (1) 値が2つで拘束が平均1つなので、p ( 1 ) = n ˉ p(1)=\bar n p ( 1 ) = n ˉ p ( 0 ) = 1 − n ˉ p(0)=1-\bar n p ( 0 ) = 1 − n ˉ H = h b ( n ˉ ) H=h_{\mathrm b}(\bar n) H = h b ( n ˉ ) λ = d h b / d n ˉ = − ln n ˉ − 1 + ln ( 1 − n ˉ ) + 1 = ln ( ( 1 − n ˉ ) / n ˉ ) \lambda=\mathrm{d} h_{\mathrm b}/\mathrm{d}\bar n=-\ln\bar n-1+\ln(1-\bar n)+1=\ln\bigl((1-\bar n)/\bar n\bigr) λ = d h b / d n ˉ = − ln n ˉ − 1 + ln ( 1 − n ˉ ) + 1 = ln ( ( 1 − n ˉ ) / n ˉ ) ( ε − μ ) n (\varepsilon -\mu)n ( ε − μ ) n β \beta β β ( ε − μ ) = ln ( ( 1 − n ˉ ) / n ˉ ) \beta(\varepsilon -\mu)=\ln\bigl((1-\bar n)/\bar n\bigr) β ( ε − μ ) = ln ( ( 1 − n ˉ ) / n ˉ ) n ˉ = 1 / ( e β ( ε − μ ) + 1 ) \bar n=1/(\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon -\mu)}+1) n ˉ = 1/ ( e β ( ε − μ ) + 1 ) (2.1.14) の Fermi 分布と一致する。
(2) h b ( 0.1 ) = 0.3251 h_{\mathrm b}(0.1)=0.3251 h b ( 0.1 ) = 0.3251 h b ( 0.5 ) = ln 2 = 0.6931 h_{\mathrm b}(0.5)=\ln2=0.6931 h b ( 0.5 ) = ln 2 = 0.6931 ln 2 \ln2 ln 2 n ˉ = 0.5 \bar n=0.5 n ˉ = 0.5 ε = μ \varepsilon =\mu ε = μ n ˉ = 2 \bar n=2 n ˉ = 2 1.9095 1.9095 1.9095
連続変数と参照測度
連続な変数 x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R p ( x ) p(x) p ( x ) − ∫ p ( x ) ln p ( x ) d x -\int p(x)\ln p(x)\,\mathrm{d} x − ∫ p ( x ) ln p ( x ) d x y = ϕ ( x ) y=\phi(x) y = ϕ ( x ) p Y ( y ) = p ( x ) / ∣ ϕ ′ ( x ) ∣ p_Y(y)=p(x)/\lvert \phi'(x)\rvert p Y ( y ) = p ( x ) / ∣ ϕ ′ ( x )∣ ⟨ ln ∣ ϕ ′ ( X ) ∣ ⟩ \langle \ln\lvert \phi'(X)\rvert \rangle ⟨ ln ∣ ϕ ′ ( X )∣⟩ D ( p ∥ m ) = ∫ p ln ( p / m ) d x D(p\,\|\,m)=\int p\ln(p/m)\,\mathrm{d} x D ( p ∥ m ) = ∫ p ln ( p / m ) d x p p p m m m m m m (2.1.3) として述べる必要がある。
古典力学の系では、参照測度を相空間の体積要素 d Γ \mathrm{d}\Gamma d Γ ( x , p ) (\bm{x},\bm{p}) ( x , p ) 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第1章 ）。時間が経っても形を変えない測度を「何も知らないときの重み」に選ぶ理由は、推論の結果を時間の原点の選び方に依らせないためである。正準変数でない変数（速さと位置など）で一様に数えると、この性質がなくなる。
1粒子の運動量 p \bm{p} p ⟨ ∣ p ∣ 2 / ( 2 m ) ⟩ = 3 2 k B T \langle \lvert \bm{p}\rvert ^2/(2m) \rangle =\frac32 k_{\mathrm B} T ⟨∣ p ∣ 2 / ( 2 m )⟩ = 2 3 k B T d 3 p \mathrm{d}^3p d 3 p p ( p ) ∝ e − β ∣ p ∣ 2 / ( 2 m ) p(\bm{p})\propto\mathrm{e}^{-\beta\lvert \bm{p}\rvert ^2/(2m)} p ( p ) ∝ e − β ∣ p ∣ 2 / ( 2 m ) R \mathbb R R
例題 2.1.5 参照測度を取り違えると ★★
オリジナル 1次元の自由粒子（質量 m m m ε = p 2 / ( 2 m ) \varepsilon =p^2/(2m) ε = p 2 / ( 2 m ) U U U p p p
(1) 運動量 p ∈ R p\in\mathbb{R} p ∈ R ε \varepsilon ε (2) エネルギー ε ≥ 0 \varepsilon \ge0 ε ≥ 0 (3) 2つの答えで、ε > 2 U \varepsilon >2U ε > 2 U
解答 (1) p ( p ) ∝ e − λ p 2 / ( 2 m ) p(p)\propto\mathrm{e}^{-\lambda p^2/(2m)} p ( p ) ∝ e − λ p 2 / ( 2 m ) ⟨ p 2 / ( 2 m ) ⟩ = 1 / ( 2 λ ) = U \langle p^2/(2m) \rangle =1/(2\lambda)=U ⟨ p 2 / ( 2 m )⟩ = 1/ ( 2 λ ) = U λ = 1 / ( 2 U ) \lambda=1/(2U) λ = 1/ ( 2 U ) ⟨ p 2 ⟩ = 2 m U \langle p^2 \rangle =2mU ⟨ p 2 ⟩ = 2 m U ε = p 2 / ( 2 m ) \varepsilon =p^2/(2m) ε = p 2 / ( 2 m ) ± p \pm p ± p ε \varepsilon ε d ε = ( p / m ) d p \mathrm{d}\varepsilon =(p/m)\mathrm{d} p d ε = ( p / m ) d p p ε ( ε ) = 1 2 π U ε e − ε / ( 2 U ) p_{\varepsilon }(\varepsilon )=\frac{1}{\sqrt{2\pi U\varepsilon }}\mathrm{e}^{-\varepsilon /(2U)} p ε ( ε ) = 2 π U ε 1 e − ε / ( 2 U ) χ 2 \chi^2 χ 2 U U U
(2) p ε ( ε ) = e − ε / U / U p_{\varepsilon }(\varepsilon )=\mathrm{e}^{-\varepsilon /U}/U p ε ( ε ) = e − ε / U / U ε \varepsilon ε ∣ d ε / d p ∣ = ∣ p ∣ / m \lvert \mathrm{d}\varepsilon /\mathrm{d} p\rvert =\lvert p\rvert /m ∣ d ε / d p ∣ = ∣ p ∣ / m
(3) (1) では Pr ( ε > 2 U ) = Pr ( ∣ p ∣ > 4 m U ) = e r f c ( 1 ) = 0.1573 \Pr(\varepsilon >2U)=\Pr(\lvert p\rvert >\sqrt{4mU})=\mathrm{erfc}(1)=0.1573 Pr ( ε > 2 U ) = Pr (∣ p ∣ > 4 m U ) = erfc ( 1 ) = 0.1573 e − 2 = 0.1353 \mathrm{e}^{-2}=0.1353 e − 2 = 0.1353 ( x , p ) (x,p) ( x , p ) T T T e − β p 2 / ( 2 m ) \mathrm{e}^{-\beta p^2/(2m)} e − β p 2 / ( 2 m ) U = 1 2 k B T U=\frac12 k_{\mathrm B} T U = 2 1 k B T
拘束に入れ忘れた保存量
最大エントロピー原理の答えは、拘束に何を書いたかで決まる。力学がエネルギー以外の量も保存するのにそれを拘束に入れなければ、予言は外れる。可積分な量子多体系では、保存量が系の大きさと同じだけあり、時間が経った後の局所的な観測量は、エネルギーだけを拘束にしたカノニカル分布でなく、すべての保存量の平均を拘束にした最大エントロピーの分布（一般化 Gibbs アンサンブル）で記述されることが数値計算で示されている1 1 M. Rigol, V. Dunjko, V. Yurovsky, and M. Olshanii (2007), Phys. Rev. Lett. 98, 050405。第2部第3章 で扱う。
1 M. Rigol, V. Dunjko, V. Yurovsky, and M. Olshanii (2007), Phys. Rev. Lett. 98, 050405。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
