この章のまとめ

(1) $\bm{v}=\nabla S/m$ で、輪に沿った長さは $R_0\varphi$ なので $v_\ell=\hbar\ell/(mR_0)$。密度が一様なので量子ポテンシャルは $0$ で、1粒子あたりの流れのエネルギーは$mv_\ell^2/2=\hbar^2\ell^2/(2mR_0^2)$。輪を1周する循環は $2\pi R_0v_\ell=\ell h/m$ で、(7.3.17) から $\ell\in\mathbb{Z}$ でなければならない。第7部第1章の例題で見たとおり、流体の方程式だけなら $\ell$ は任意の実数でよく、$\ell$ を整数に限るのは $\psi\propto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ell\varphi}$ が1価であるという条件である。この流れは輪の中心を囲むので、輪の穴（密度 $0$ の領域）が渦の芯の役をしている。数値は $\hbar/(mR_0)=1.0546\times10^{-34}/(1.443\times10^{-25}\times2\times10^{-5})\,\mathrm{m/s}=3.65\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}$、$v_1=36.5\,\mu\mathrm{m/s}$ である。

(2) 命題 7.3.2 から、流れの速さが音速より遅ければ、壁との摩擦で励起を作ってもエネルギーは下がらず、流れは減速しない。条件 $\hbar\ell/(mR_0)<c_{\mathrm s}$ は $\ell<mc_{\mathrm s}R_0/\hbar=1.83\times10^{-3}/3.65\times10^{-5}=50.1$ で、$\ell\le50$ の流れは永久流として続く。$\ell$ を1つ下げるには、輪の断面を渦が横切って位相の巻き数を1つ減らす必要があり、それにはエネルギーの山（渦の芯を作るエネルギー）を越えなければならない。Landau の条件はこの山を越えない範囲での安定性で、実際の寿命の見積もりにはこの山の高さも要る。

(3) 全粒子が $\ell$ の状態にあるとき、全体で $L_z=N\hbar\ell$、流れのエネルギーは $E=N\hbar^2\ell^2/(2mR_0^2)$ なので

$$\frac{E-\Omega L_z}{N}=\frac{\hbar^2\ell^2}{2mR_0^2}-\hbar\Omega\ell=\frac{\hbar^2}{2mR_0^2}\Bigl(\ell-\frac{mR_0^2\Omega}{\hbar}\Bigr)^2-\frac{mR_0^2\Omega^2}{2}.$$

最小にする整数 $\ell$ は $mR_0^2\Omega/\hbar$ に最も近い整数で、$\ell$ と $\ell+1$ の値が等しくなるのは $\hbar^2(2\ell+1)/(2mR_0^2)=\hbar\Omega$、つまり

$$\Omega_\ell=\frac{\hbar}{mR_0^2}\Bigl(\ell+\frac12\Bigr)$$

である。$\hbar/(mR_0^2)=3.65\times10^{-5}/(2\times10^{-5})\,\mathrm{s^{-1}}=1.83\,\mathrm{rad/s}$ なので、$\ell=0$ から $1$ へ移るのは $\Omega_0=0.91\,\mathrm{rad/s}$。回転を速くすると、凝縮体の角運動量は連続にでなく $N\hbar$ ずつ階段状に増える。$\Omega$ が $\Omega_0$ を越えたあと回転を止めても、(2) により $\ell=1$ の流れは残る。

(4) 超伝導の輪では (7.3.24) から、細い輪に沿った速度は $m^*v=(2\pi\hbar\ell-q\Phi)/(2\pi R_0)$ で、運動エネルギーは $(\ell-q\Phi/(2\pi\hbar))^2$ に比例する。$\lvert q\rvert =2e$ なので、最小にする $\ell$ は $\pm\Phi/\Phi_0$ に最も近い整数（符号は $q=-2e$ の向きの取り方による）で、$\ell$ の入れ替わりは $\lvert \Phi\rvert =(\ell+\frac12)\Phi_0$ で起き、エネルギーと電流は $\Phi$ について周期 $\Phi_0=h/2e$ で繰り返す。(3) と比べると、回転の「磁束」$2\pi m\Omega R_0^2$ を $h$ で割ったものが $\Phi/\Phi_0$ に当たり、$2\pi m\Omega_\ell R_0^2=(\ell+\frac12)h$ は $\Omega_\ell=(\hbar/mR_0^2)(\ell+\frac12)$ と同じ式である。回る座標系の $m\bm{\Omega}\times\bm{r}$ が $q\bm{A}$ の役をするので、中性の凝縮体を回すことと、荷電した凝縮体に磁束を通すことは、同じ量子化条件の2つの実現である。

(5) $g\to0$ で $c_{\mathrm s}=\sqrt{gn_0/m}\to0$ となり、(2) の条件 $v_\ell<c_{\mathrm s}$ を満たす $\ell\neq0$ は無くなる。理想的なボース気体の凝縮体では、どんなに遅い流れも壁との摩擦で $\varepsilon (p)=p^2/(2m)$ の励起を作ってエネルギーを下げられるので、永久流は減衰する。第1節で見たように $g=0$ の凝縮体は全粒子が1粒子の基底状態（罠が調和なら共通例題①の基底状態）に入っただけのもので、凝縮は起きている。超流動に要るのは、凝縮（巨視的波動関数があること）に加えて、相互作用が分散を音波に変えて臨界速度を有限にすることである。第6節の言葉では、Bogoliubov の励起の分散が原点で線形であることが超流動の条件で、これは凝縮のモードの外の量子揺らぎの性質である。