言えなかったこと

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第8章 §7.8.4　★★★ $D$ が与えるのは不等式と指数で、速さ・止まる状態の選び方・量子計算の速さ・Page 曲線の導出は $D$ の外から入った

速さは $D$ から出ない

定理 7.8.1 は $D$ が増えないことを言うが、どれだけの速さで減るかは言わない。例題 7.8.2 の緩和時間 $T_1$ は熱浴との結合の強さで決まり、$D$ の性質からは出ない。速さについて巻で言えたことは、2次の展開を通した評価に限られる。熱力学的不確定性関係と速度限界（第4部第6章）は、経路の分布の Fisher 情報を使って「精度にはエントロピー生成が要る」「状態を動かすにはエントロピー生成か活動度が要る」と下限を与えたが、実際の速さは動力学の模型で決まる。ブラックホールでも同じで、Page 時間（放射のエントロピーが折り返す時刻）とスクランブリング時間 $t_*\sim\frac{\hbar}{2\pi k_{\mathrm B} T_{\mathrm H}}\ln(S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B})$（第7部第3章の式 (7.3.13)・第4章の式 (7.4.22)）は、蒸発の速さとカオスの速さ（Lyapunov 指数の上限 $2\pi k_{\mathrm B} T/\hbar$）から出る量で、相対エントロピーからは出ない。

止まる状態を選ぶのは物理である

定理 7.8.1 の前提 $\mathcal N(\hat\sigma)=\hat\sigma$ は、情報の側からは与えられない。熱浴と接した系で $\hat\sigma$ が Gibbs 分布になる条件は、熱浴が十分大きく、結合が弱く、熱浴の相関が速く消えること（弱結合の van Hove の極限、Davies 1974、近似の数理 第14章）で、これは第1〜4部の札に10回現れた（7.8.5節）。孤立系がミクロカノニカル分布へ近づく理由は、典型性（第2部第3章）までは証明できたが、個々の初期状態の時間発展がそこへ向かうことは固有状態熱化仮説（ETH）に依っていて、ETH は証明されていない。一般化第二法則でも、$\hat\sigma$ を地平面に沿った並進で変わらない真空に選べることが前提で、Wall の証明が確かめた範囲は自由場と2次元の共形場理論である。

量子計算の速さ

第6部では、アルゴリズムを $D$ で書くことはしなかった。$D$ が言えたのは下界のほうである。Grover の探索では、問い合わせ $k$ 回で得られる Holevo 量が $k^2/N$ の程度でしか増えないことから、誤りなしの探索に $k\ge\sqrt{N-1}/2$ 回が要ると言えた（第6部第4章）。しかし、実際にその程度の回数で解ける手続きがあること（Grover のアルゴリズム）と、因数分解が多項式時間で解けること（Shor のアルゴリズム）は、反射の積や位相推定という構成で示したもので、$D$ の不等式からは出ない。下界と実際の回数の比が定数で収まることも、$D$ からは言えなかった（例題 7.8.4）。

ブラックホールで残ったこと

第7部で $D$ から言えた結果は、Bekenstein 上限（非負性）・一般化第二法則（単調性）・外が熱的に見えること（純粋化と単調性）・Page の数え上げ（非負性と配分の恒等式）・Hayden–Preskill の取り戻し（デカップリング＝等号条件）・ファイアウォールの議論の矛盾（強劣加法性から出る弱単調性・一夫一婦制）・エンタングルメント・ウェッジの再構成（JLMS の等式と回復写像）である。言えなかったことは次の3つである。第一に、Page 曲線が実際に折り返すことは、島の公式 $S(R)=\min\operatorname{ext}_I\bigl[A(\partial I)/(4\ell_{\mathrm P}^2)+S(R\cup I)\bigr]$ と、その根拠である重力の経路積分の新しい鞍点（レプリカ・ワームホール）の計算から出たもので、$D$ の性質ではない（第7部第7章）。第二に、放射から落とした情報を取り出す具体的な手続きは分かっていない。デカップリングは「取り出す回復写像がある」ことまでを言い、それを作る回路の大きさは言わない。第三に、これらの計算が確かめられているのは主に反 de Sitter 時空や2次元の重力の模型で、平坦な時空の現実のブラックホールでの扱いは途上である。