近似の裏付けの札：証明はどこに残ったか

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第8章 §7.8.5　★★ 巻の札70枚を型と状況で数え、10の家族に分ける。要確認の13枚のうち10枚は時間の尺度を分ける近似（6枚）と半古典の重力（4枚）に集まっている

札の数

巻の各章では、近似を使った節の末尾に近似の裏付けの札を置いた。終章を除く45章にある札は70枚である（第1〜6部49枚・第7部21枚）。型と証明の状況で数えたものが表 7.8.2 で、状況の内訳は証明済み13・条件付き37・要確認13・未解決1・C 型（内部の評価なし）6である。

B 型（極限）が61枚で、A 型（射影）は3枚しかない。光の巻（光学と量子エレクトロニクス 第35章）ではモードや2準位への縮約が A 型として多く現れたが、この巻では状態の空間を狭める近似がほとんど要らなかった。$D$ の不等式は、状態の空間を狭めずに全体で成り立つからである。A 型の3枚はどれも、変分原理で試す分布を積の形や行列積状態に限ったもので、非負性から上界であることは証明済みか、証明に近い。

10の家族

70枚を、何を小さいとしたかで10の家族に分けたのが表 7.8.3 である。章の欄の「2-05#1,2」は第2部第5章の1枚目と2枚目の札を表す。

図 7.8.3　表 7.8.3 の10の家族の札の枚数を状況で塗り分けたもの。横軸は枚数。

図 7.8.3 から3つのことが読み取れる。第一に、要確認の13枚のうち6枚は「時間の尺度を分ける」家族に、4枚は「半古典の重力」家族にある。過減衰の極限（Smoluchowski–Kramers）、二重井戸の2状態への粗視化（Kramers）、蒸発の準静的な扱いなどで¹1回転波近似の札は、光の巻（光学と量子エレクトロニクス 第18章）と同じ判定で条件付き（平均化の定理）にしたので、この数に入っていない。下の脚注へ閉じる、速い自由度を消して遅い自由度だけの方程式にする近似である。情報熱力学の第4部はこの種の近似の上に立っていて、そこで出した不等式そのもの（$\langle \Sigma \rangle =D\ge0$）は厳密でも、「実験の粒子がこの式に従う」ことの裏付けは第V巻（近似の数理 第7章）の特異摂動の言葉で確かめ直す必要がある。半古典の重力の家族も同じ位置にあり、第7部の結論（Page 曲線・島の公式）は、計量を古典のまま扱う近似と重力の経路積分の鞍点の上に立っている。第二に、弱結合の Markov 化は10枚（すべて条件付き）で、時間の尺度を分ける近似（11枚）に次いで多い。これは前節の「止まる状態を選ぶのは物理である」の具体的な形である。Davies の定理が前提（有限次元の系・熱浴の相関の速い減衰・結合 $\lambda\to0$ で $\lambda^2t$ を固定）のもとで証明している（近似の数理 第14章）。第三に、試行や粒子の数が大きい家族は半分以上が証明済みである。Stirling の公式・大偏差・de Finetti の定理は、誤差の上下界まで分かった数学の結果で、情報理論の漸近の主張はほぼこの家族に入る。未解決の1枚は ETH で、7.8.4節で挙げた「止まる状態を選ぶ」問題の中心にある。