$D$ の値は3通りに読める

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第8章 §7.8.3　★★★ $D$ は、くり返しの確率の指数・$k_{\mathrm B} T$ を掛けた仕事・2次の係数としての推定の精度の3通りに読め、3つは同じ数を指す

指数・仕事・曲がり

表 7.8.1 の「出てきたもの」の欄の量は、どれも $D$ の値の読み方の違いである。読み方は3つに分かれる。

第一は確率の指数としての読み方である。$q$ から独立に $n$ 個取った列が $p$ のように見える確率は $\mathrm{e}^{-nD(p\,\|\,q)}$ で減る（Sanov の定理）。符号化定理（第1部第5・6章）の典型集合の大きさ、Stein の補題の第2種の誤りの指数（第1部第8章・第3部第8章）、Bell の不等式の破れで局所的な模型を棄却するのに要る試行の数（第3部第5章）が、この読み方に当たる。通信路容量 $C=\min_r\max_xD(W_x\,\|\,r)$ も、受け手の側で独立とみなした分布から見て、送った符号語の出力がどれだけ見分けやすいかの指数である。

第二は仕事としての読み方である。熱浴の温度 $T$ のもとで、分布 $p$ の系から取り出せる仕事の上限は $k_{\mathrm B} T\,D(p\,\|\,p_{\mathrm{eq}})$ である（式 (7.8.2)）。測定で得た相互情報量 $I$ から取り出せる仕事 $k_{\mathrm B} TI$（第4部第4章）、消去のコスト（第4部第5章）、Crooks の関係の散逸仕事 $k_{\mathrm B} T\,D(P_{\mathrm F}\,\|\,\tilde P_{\mathrm R})$（第4部第2章）がこの読み方に当たる。

第三は曲がりとしての読み方である。パラメータを $\delta$ だけずらした2つの分布の $D$ は $\frac12J\delta^2$ で、Fisher 情報 $J$ は推定の誤差の下限 $1/J$ を決める（第1部第7章）。量子 Fisher 情報と Heisenberg 限界（第3部第8章・第6部第2章）、熱力学的不確定性関係（第4部第6章）がこの読み方に当たる。

3つの読み方が同じ数を指すことには理由がある。第一と第二は、Gibbs 分布の重み $\mathrm{e}^{-\beta E}$ が「エネルギーを使って確率を数える」指数であることでつながり、熱浴にとって $k_{\mathrm B} T\,D$ の仕事は、確率の比の対数を $k_{\mathrm B} T$ の単位で測ったものである。第三は第一の局所版で、近い2つの分布を見分ける指数 $D\approx\frac12J\delta^2$ が、誤差 $\delta$ の推定に要る回数 $n\approx1/(J\delta^2)$ を決める。

ブラックホールでの3つの読み方

第7部でも、同じ3つの読み方が現れる。Bekenstein 上限は、領域に制限した状態と真空の $D\ge0$ を式 (7.8.3) の形で書いた $\Delta S\le\Delta\langle \hat K \rangle$ であり¹1H. Casini (2008), Class. Quantum Grav. 25, 205021。下の脚注へ閉じる、平坦な時空の Rindler の楔では $\hat K$ がエネルギーに比例する（$2\pi$ と境界からの距離を掛けたもの）ので、エネルギー $E$・大きさ $R$ の物体のエントロピーが $2\pi k_{\mathrm B} ER/(\hbar c)$ で押さえられる²2J. D. Bekenstein (1981), Phys. Rev. D 23, 287 の上限 $S\le2\pi k_{\mathrm B} ER/(\hbar c)$。下の脚注へ閉じる。これは第二の読み方（$D$ をエネルギーで測る）の重力版である。一般化第二法則（式 (7.8.4)）では、$D$ は面積の単位 $4\ell_{\mathrm P}^2$ で測った「まだ地平面に吸い込まれていない分」として現れる。JLMS の等式（境界の2状態の $D$ と内部の2状態の $D$ が等しい。第7部第6章の定理 7.6.1）は、単調性の等号が両向きに成り立つ場合で、等号条件の読み方の延長にある。