この章のまとめ

(1) $\sin\theta=1/4$ から $\theta=0.25268$。$P_1=\sin^2(3\theta)=0.4727$、$P_2=\sin^2(5\theta)=0.9084$、$P_3=\sin^2(7\theta)=0.9613$。$\pi/(4\theta)=3.108$ なので $k_*=3$。$k=4$ では $\sin^2(9\theta)=0.5817$ に下がる。

(2) $k=3$ で $(2k+1)\theta'=\pi/2$ とするので $\theta'=\pi/14=0.22440$、$c=\sin^2\theta'/\sin^2\theta=16\sin^2(\pi/14)=0.7922$。補助の量子ビットを $\sqrt{0.7922}| 1 \rangle +\sqrt{0.2078}| 0 \rangle$ に回して成功の条件に加えれば、3回の反復で成功確率は $1$ になる。2回で確実に当てるには $5\theta'=\pi/2$、すなわち $\theta'=\pi/10=0.3142$ が要るが、これは $\theta=0.2527$ より大きい。この方法で角を大きくすることはできないので、2回では足りない。

(3) BBBV の式では $\frac12\sqrt{16-2\times4}=\sqrt2=1.414$、情報の側の式では $\sqrt{15}/2=1.936$。どちらからも「少なくとも2回」が出る。(2) の方法は3回を使うので、下界と1回の差がある。

(4) $\sin^2(4\theta)=0.71777$ を式 (6.4.30) に入れて $\chi_2=[h_{\mathrm b}(0.71777)+0.71777\ln15]/\ln2=3.663$ ビット。Holevo の限界から $I(V;\hat V)\le3.663$ ビットなので、$H(V\,|\,\hat V)\ge4-3.663=0.337$ ビット。Fano の不等式 $h_{\mathrm b}(P_{\mathrm{err}})+P_{\mathrm{err}}\log_2 15\ge0.337$（ビット）を$P_{\mathrm{err}}$ について解くと $P_{\mathrm{err}}\ge0.0329$ になる。一般の2回のアルゴリズムについては、$4k^2/N=1$ が $1-1/N$ を超えるので命題 6.4.6 の上限は $4$ ビットになり、誤りの下限は出ない。したがってこの下限は Grover の反復の状態に限った値である。Grover の2回の実際の誤りの確率は $1-0.9084=0.0916$ で、下限の約3倍ある。差は、(1) の後半で見たように途中の状態が直交しきっておらず、計算基底の測定で Holevo 量の全部は取り出せないことによる。

(5) 平面の中で $\hat G_v$ は角 $2\theta$ の回転 $\begin{pmatrix}\cos2\theta&-\sin2\theta\\ \sin2\theta&\cos2\theta\end{pmatrix}$（基底 $| r \rangle ,| v \rangle$）なので、固有値は $\mathrm{e}^{\pm2\mathrm{i}\theta}$、固有ベクトルは $| g_\pm \rangle =(| r \rangle \mp\mathrm{i}| v \rangle )/\sqrt2$ である。$| s \rangle =\cos\theta| r \rangle +\sin\theta| v \rangle$ との内積は $\langle g_\pm | s \rangle =(\cos\theta\pm\mathrm{i}\sin\theta)/\sqrt2=\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\theta}/\sqrt2$ で、重みは $\lvert \langle g_\pm | s \rangle \rvert ^2=1/2$ ずつになる。固有値の位相は $\pm2\theta/(2\pi)=\pm\theta/\pi=\pm0.08043$。最も近い格子点は $3/32=0.09375$（差 $0.0133$）で、$2/32=0.0625$（差 $0.0179$）より近い。推定値は $16\sin^2(3\pi/32)=1.35$ で、当たりの数は整数なので $M=1$ と読める。負の位相 $-0.08043$ を読んだ場合も $\sin^2$ が同じなので、同じ推定値になる。