当てる道具：Lorentz 変換で $L\,\mathrm{d} t$ が全微分だけ変わること

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.2　★★★ 第1部第5章の「Galilei 変換で $L$ が全微分だけ変わる」という手順を Lorentz 変換に替えると、$L$ が一通りに決まる

第1部第5章の手順

第1部第5章では、自由粒子の $L$ について次の3つを要請した。空間と時間が一様なので $L$ は $\bm{x}$ と $t$ によらない。空間が等方的なので $L$ は速度の向きによらず $v^2$ だけの関数である。そして慣性系を取り替えても運動方程式が変わらないように、変換で $L\,\mathrm{d} t$ が時間の全微分（$\mathrm{d}\Lambda$ の形）だけ変わることを要求する。$L\,\mathrm{d} t$ に全微分 $\mathrm{d}\Lambda$ を足しても作用は端の値 $\Lambda(t_2)-\Lambda(t_1)$ しか変わらず、端を固定した変分には影響しないからである（第1部第5章）。

相対論では時刻 $t$ も変換で変わるので、比べるのは $L$ でなく $L\,\mathrm{d} t$ である。$L\,\mathrm{d} t$ は作用の「微小な1こま」なので、これがどちらの慣性系で見ても全微分の差を除いて同じなら、作用の停留条件も同じになる。

無限小の Lorentz 変換

式 (2.3.2) で $u$ を小さくし、$u$ の1次まで残すと

$$t'=t-\frac{u}{c^2}x,\qquad x'=x-ut,\qquad y'=y,\quad z'=z\tag{2.3.6}$$

になる（$\gamma_u=1+\mathcal{O}(u^2)$）。速度 $\bm{v}$ の粒子の世界線に沿って微分すると

$$\mathrm{d} t'=\Bigl(1-\frac{uv_x}{c^2}\Bigr)\mathrm{d} t,\qquad v'_x=\frac{v_x-u}{1-uv_x/c^2},\qquad v'_y=\frac{v_y}{1-uv_x/c^2},\qquad v'_z=\frac{v_z}{1-uv_x/c^2}$$

で、$u$ の1次までで

$$v'^2=v^2-2uv_x\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr)+\mathcal{O}(u^2)\tag{2.3.7}$$

を得る（$v_x'^2=v_x^2-2uv_x+2uv_x^3/c^2$、$v_y'^2+v_z'^2=(v_y^2+v_z^2)(1+2uv_x/c^2)$ を足した）。$L=L(v^2)$ とし、$L'$ を $v^2$ についての導関数とすると

$$L(v'^2)\,\mathrm{d} t'=\Bigl[L-2uL'v_x\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr)\Bigr]\Bigl(1-\frac{uv_x}{c^2}\Bigr)\mathrm{d} t =L\,\mathrm{d} t-u\Bigl[2\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr)L'+\frac{L}{c^2}\Bigr]v_x\,\mathrm{d} t+\mathcal{O}(u^2).$$

世界線に沿って $v_x\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x$ なので、$L\,\mathrm{d} t$ の変化は $-u\,\Phi(v^2)\,\mathrm{d} x$、$\Phi(v^2)\coloneqq2(1-v^2/c^2)L'+L/c^2$ である。これが $\mathrm{d}\Lambda(\bm{x},t)=\nabla\Lambda\cdot\mathrm{d}\bm{x}+\partial_t\Lambda\,\mathrm{d} t$ の形になるには、$\mathrm{d} x$ の係数 $-u\Phi$ が $\bm{x}$ と $t$ だけの関数でなければならない。$\Phi$ は速度だけの関数なので、どちらでもあり得るのは定数の場合に限る。

定数の項 $Kc^2$ は運動に関係しない。実際、$Kc^2\,\mathrm{d} t'=Kc^2\,\mathrm{d} t-Ku\,\mathrm{d} x$ で、その変化 $-Ku\,\mathrm{d} x$ は $\Lambda=-Kux$ の全微分である。定数を落とした $L=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$ では $L\,\mathrm{d} t=-mc^2\,\mathrm{d}\tau$ そのものが不変で、$\Lambda=0$ である。