出てくるもの1：運動量・エネルギーと静止エネルギー

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.3　★★★ Euler–Lagrange 方程式から $\bm{p}=\gamma m\bm{v}$、Legendre 変換から $E=\gamma mc^2$。定数 $-mc^2$ が静止エネルギーになり、質量の変わる反応で測れる

正準運動量と運動方程式

$L=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$ の正準運動量は

$$\bm{p}=\frac{\partial L}{\partial \bm{v}}=\frac{m\bm{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma m\bm{v}\tag{2.3.9}$$

である。$L$ は $\bm{x}$ によらないので、Euler–Lagrange 方程式（第1部第4章）は $\frac{\mathrm{d} \bm{p}}{\mathrm{d} t}=0$ で、$\bm{p}$ が一定なら $\bm{v}$ も一定、つまり等速直線運動である。運動の形は Newton 力学と同じだが、運動量と速度の関係が違う。$v\to c$ で $\lvert \bm{p}\rvert \to\infty$ になるので、有限の運動量しか持たない粒子は光速に達しない。

エネルギー

Legendre 変換（第1部第7章）で $H=\bm{p}\cdot\bm{v}-L$ を作ると

$$H=\gamma mv^2+\frac{mc^2}{\gamma}=\gamma mc^2=\sqrt{\bm{p}^2c^2+m^2c^4}\tag{2.3.10}$$

になる。最後の形は $\gamma^2=1+\bm{p}^2/(m^2c^2)$ を使って $p$ の関数に直したもので、計算の細部は第1部第1章の例題で済ませた（第1部第1章）。$L$ は $t$ によらないので、Noether の定理（第1部第10章）により時刻の並進に対する保存量 $H$ が保存する。これを粒子のエネルギー $E$ と呼ぶ。$L$ は $\bm{x}$ にもよらないので、空間の並進に対する保存量 $\bm{p}$ も保存する。

$v\ll c$ で展開すると $E=mc^2+\frac12mv^2+\frac38mv^4/c^2+\cdots$ である。第2項が Newton 力学の運動エネルギーで、第1項 $mc^2$ は静止している粒子にも残る。この $mc^2$ は、$L$ の中の運動に関係しない定数 $-mc^2$ が Legendre 変換で $H$ に移ったものである。1個の自由粒子では定数なので観測にかからない。しかし、粒子が壊れたりくっついたりして質量の和が変わる過程では、エネルギー保存の式に $mc^2$ の差がそのまま入るので測ることができる。このことは Einstein が 1905 年に指摘した¹1A. Einstein (1905), Annalen der Physik 18, 639.下の脚注へ閉じる。

停留点は作用の最小点

$L$ の速度についての2階微分（Hessian）は

$$\frac{\partial^2L}{\partial v_i\partial v_j}=\gamma m\Bigl(\delta_{ij}+\gamma^2\frac{v_iv_j}{c^2}\Bigr)\tag{2.3.11}$$

で、固有値は速度に垂直な2方向で $\gamma m$、速度の方向で $\gamma^3m$ である。どちらも正なので $L$ は $\bm{v}$ について狭義の凸関数である。したがって第1部第7章の Legendre 変換は1対1で（$\bm{v}$ と $\bm{p}$ が1対1に対応する）、さらに端の出来事を固定した作用について次の命題が成り立つ。

第1部第5章の調和振動子では、時間を長く取ると真の経路は最小点でなく鞍点になった。自由な相対論的粒子では $L$ が速度だけの凸関数なので、時間をどれだけ長く取っても最小点のままである。