出てくるもの2：4元運動量と、径数によらない作用

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.4　★★★ 作用を世界線の任意の径数で書くと $E/c$ と $\bm{p}$ が4元運動量にまとまり、$H$ が恒等的に $0$ になる代わりに拘束 $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ が残る

径数で書いた作用

式 (2.3.4) は時刻 $t$ を径数に使っているので、時間と空間の扱いが違って見える。世界線を任意の径数 $\lambda$ で $x^\mu(\lambda)$ と書き、$\dot x^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}$ とすると（この節ではドットは $\lambda$ 微分）

$$S[x]=-mc\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\sqrt{\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}\,\mathrm{d}\lambda,\qquad L_\lambda=-mc\sqrt{\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}\tag{2.3.12}$$

になる。$\lambda=t$ と選べば $\dot x^0=c$, $\dot x^i=v^i$ で、式 (2.3.4) に戻る。$\lambda$ を別の単調な径数 $\lambda'=f(\lambda)$ に取り替えても、$\dot x^\mu$ は $f'$ 倍、$\mathrm{d}\lambda$ は $1/f'$ 倍になるので $S$ は変わらない。この作用は4つの座標 $x^\mu$ を対等に扱い、Lorentz 変換 $x^\mu\to\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ で $\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$ が変わらないので $L_\lambda$ そのものが不変である。

$L_\lambda$ の $\dot x^\mu$ についての偏微分は

$$\frac{\partial L_\lambda}{\partial \dot x^\mu}=-\frac{mc\,\eta_{\mu\nu}\dot x^\nu}{\sqrt{\eta_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta}}=-mu_\mu,\qquad u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau}=\frac{c\,\dot x^\mu}{\sqrt{\eta_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta}}\tag{2.3.13}$$

である（$\mathrm{d}\tau=\sqrt{\eta_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta}\,\mathrm{d}\lambda/c$ を使った）。$u^\mu$ を4元速度、$p^\mu=mu^\mu$ を4元運動量と呼ぶ。$u^\mu=\gamma(c,\bm{v})$ なので

$$p^\mu=mu^\mu=\Bigl(\frac{E}{c},\ \bm{p}\Bigr),\qquad E=\gamma mc^2,\qquad \bm{p}=\gamma m\bm{v}\tag{2.3.14}$$

で、2.3.3節のエネルギーと運動量が1つの4元ベクトルの成分になる。式 (2.3.13) は「$x^\mu$ に共役な正準運動量は $-p_\mu$」と言っていて、空間成分では $-p_i=+p^i$（2.3.3節の $\bm{p}$）、時間成分では $-p_0=-E/c$ である。$x^0=ct$ に共役な量がエネルギーの符号を変えたものになるのは、Hamilton–Jacobi の理論で $\partial S/\partial t=-H$ だったこと（第1部第13章）と同じ符号である。$x^\mu$ は $L_\lambda$ に現れないので、Euler–Lagrange 方程式は $\frac{\mathrm{d} p_\mu}{\mathrm{d} \lambda}=0$、つまり4元運動量の4成分の保存である。これは時間と空間の4方向の並進に対する Noether の保存量を一度に書いたものになっている。

$H$ が $0$ になることと質量殻の拘束

$L_\lambda$ は $\dot x^\mu$ の1次の同次関数である（$\dot x^\mu$ を全部 $k$ 倍すると $L_\lambda$ も $k$ 倍）。同次関数についての Euler の定理から

$$H_\lambda=\dot x^\mu\frac{\partial L_\lambda}{\partial \dot x^\mu}-L_\lambda=0\tag{2.3.15}$$

が径数によらず恒等的に成り立つ。さらに $\frac{\partial L_\lambda}{\partial \dot x^\mu}$ は $\dot x^\mu$ の0次の同次関数なので、$\dot x^\mu$ を同じ向きに伸ばしても変わらない。4つの $\dot x^\mu$ から4つの正準運動量への対応は1対1でなく、Hessian $\partial^2L_\lambda/\partial\dot x^\mu\partial\dot x^\nu$ は $\dot x^\nu$ を固有値 $0$ の固有ベクトルに持つ。第1部第7章の言葉では、この $L_\lambda$ は退化していて Legendre 変換ができない（第1部第7章）。4つの正準運動量は独立でなく、式 (2.3.13) から

$$\eta^{\mu\nu}p_\mu p_\nu=p_\mu p^\mu=m^2u_\mu u^\mu=m^2c^2,\qquad\text{すなわち}\quad \frac{E^2}{c^2}-\bm{p}^2=m^2c^2\tag{2.3.16}$$

という拘束を満たす（$u_\mu u^\mu=\gamma^2(c^2-v^2)=c^2$）。これを質量殻の条件と呼ぶ。式 (2.3.10) の $E=\sqrt{\bm{p}^2c^2+m^2c^4}$ は、この拘束を $E$ について解いたものである。

運動を決める情報は $H_\lambda$ には無く、すべて拘束 (2.3.16) に入っている。径数を $\lambda=t$ に固定すると $x^0=ct$ は力学変数でなくなり、残る3つの $\bm{x}$ の Hamiltonian として拘束を解いた $E(\bm{p})$ が現れる。径数を選ぶ自由度があるとき $H$ が $0$ になり拘束が残る、という構造は、一般相対論の章で測地線の作用を扱うとき（第2部第12章）にもう一度現れ、拘束 $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ に $p_\mu\to\mathrm{i}\hbar\partial_\mu$ を入れたものが Klein–Gordon 方程式である（第5部第4章）。