この章のまとめ

(1) $H_{\mathrm{mol}}=-t_{\mathrm h}A$（$A$ は環の隣り合いの行列）の固有状態は $c_l=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} ml/6}/\sqrt6$（$m=0,\dots,5$）、準位は $\varepsilon _m=-2t_{\mathrm h}\cos(\pi m/3)$ で、$-2t_{\mathrm h},-t_{\mathrm h},-t_{\mathrm h},t_{\mathrm h},t_{\mathrm h},2t_{\mathrm h}$ である。6個の $\pi$ 電子が下の3つを埋め、HOMO が $-t_{\mathrm h}$、LUMO が $+t_{\mathrm h}$ で、電極の Fermi 準位 $\varepsilon =0$ はその真ん中にある。固有状態で展開すると

$$\mathcal G^{(0)}_{j1}(0)=\sum_{m=0}^{5}\frac{c_j^{(m)}c_1^{(m)*}}{0-\varepsilon _m}=\frac{1}{12t_{\mathrm h}}\sum_{m=0}^{5}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi m(j-1)/3}}{\cos(\pi m/3)}$$

で、オルト（$j-1=1$）は $\frac{1}{12t_{\mathrm h}}(1+2+2+1)=\frac{1}{2t_{\mathrm h}}$、メタ（$j-1=2$）は $\frac{1}{12t_{\mathrm h}}\bigl(1-1+(2-2)\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/3}+(-2+2)\mathrm{e}^{4\pi\mathrm{i}/3}\bigr)=0$、パラ（$j-1=3$）は $\frac{1}{12t_{\mathrm h}}(1-2-2+1-2-2)=-\frac{1}{2t_{\mathrm h}}$ である。

(2) $\varepsilon =0$ で $\Gamma=2t_{\mathrm c}^2/t_{\mathrm h}=0.18t_{\mathrm h}$。オルトとパラは $\mathcal T(0)\approx0.18^2/4=0.0081$、メタは 0 である。パラの伝導度は $G\approx0.0081G_0=0.63\,\mathrm{\mu S}$、抵抗は $1.6\,\mathrm M\Omega$ である。メタで 0 になるのは、(1) の和で、$m=0$ と $m=3$（一番下と一番上の準位）の寄与が $+1$ と $-1$ で打ち消し、2重に縮退した HOMO と LUMO の寄与もそれぞれ $\pm2$ で打ち消すからである。各準位の寄与は、サイト1とサイト $j$ の振幅の積 $c_j^{(m)}c_1^{(m)*}$ を分母 $-\varepsilon _m$ で割ったものである。メタでは、この積の位相が準位ごとに回り、エネルギーの符号が逆の準位どうしの寄与が同じ大きさで逆の符号になる。電子は分子の中を複数の準位を経由して通り、その振幅の和が干渉で 0 になる。

(3) $\mathcal G_{31}$ は行列 $M=\varepsilon -H_{\mathrm{mol}}-\Sigma P_1-\Sigma P_3$ の逆行列の $(3,1)$ 成分で、$\pm(\text{1行3列を取り除いた小行列式})/\det M$ に等しい。1行目と3列目を取り除くと、$\Sigma$ が入っている $(1,1)$ 成分と $(3,3)$ 成分はどちらも消えるので、この小行列式は $\Sigma$ を含まず、分子だけの値と同じである。分子だけでは $\det(-H_{\mathrm{mol}})\neq0$（準位に 0 が無い）なのに $\mathcal G^{(0)}_{31}(0)=0$ だったので、この小行列式は 0 である。$\det M\neq0$ なので、$\mathcal G_{31}(0)=0$ が $t_{\mathrm c}$ によらず厳密に成り立つ。パラは数値で逆行列を計算して $\mathcal T(0)=0.00807$ で、弱結合の近似 $0.0081$ より $0.4\%$ 小さい。

(4) 式 (4.7.19) で $\Gamma_{\mathrm L}=\Gamma_{\mathrm t}$、$\Gamma_{\mathrm R}=\Gamma_{\mathrm s}$、$\operatorname{Re}\Sigma$ を $\varepsilon _0$ に繰り込むと

$$\mathcal T(\varepsilon )=\frac{\Gamma_{\mathrm t}\Gamma_{\mathrm s}}{(\varepsilon -\varepsilon _0)^2+\bigl(\frac{\Gamma_{\mathrm t}+\Gamma_{\mathrm s}}{2}\bigr)^2}\approx\Gamma_{\mathrm t}\cdot2\pi\cdot\frac{1}{\pi}\frac{\Gamma_{\mathrm s}/2}{(\varepsilon -\varepsilon _0)^2+(\Gamma_{\mathrm s}/2)^2}=2\pi\Gamma_{\mathrm t}D_{\mathrm{mol}}(\varepsilon )$$

（分母の $\Gamma_{\mathrm t}$ を落とした）。$T=0$ では $\mathrm{d} I/\mathrm{d} V_{\mathrm b}=G_0\mathcal T(\varepsilon _{\mathrm F}+eV_{\mathrm b})$ なので、山は $V_{\mathrm b}=0.5\,\mathrm V$（試料の空いた準位）にあり、高さは$G_0\cdot4\Gamma_{\mathrm t}\Gamma_{\mathrm s}/(\Gamma_{\mathrm t}+\Gamma_{\mathrm s})^2=0.0392G_0=3.04\,\mathrm{\mu S}$、近似の $4\Gamma_{\mathrm t}/\Gamma_{\mathrm s}=0.040$ とほぼ同じで、半値全幅は $\Gamma_{\mathrm s}+\Gamma_{\mathrm t}\approx0.2\,\mathrm V$ である。微分伝導度は、探針の結合 $\Gamma_{\mathrm t}$ を比例の係数とした分子の状態密度 $D_{\mathrm{mol}}$ に等しい。これは Tersoff–Hamann の結果 (4.7.11) の「探針の性質の定数 × 試料の局所状態密度」と同じ形で、係数は弱い側の結合で、状態密度の幅は強い側の結合で決まる。

(5) 1次元では散乱は後ろ向き（$k\to-k$）だけで、輸送の緩和時間は後方散乱の時間の半分 $\tau_{\mathrm{tr}}=\tau_{\mathrm b}/2$ だった（第4部第2章）。長さ $\mathrm{d} x$ の間に後ろへ散乱される確率は $\mathrm{d} x/(v_{\mathrm F}\tau_{\mathrm b})=\mathrm{d} x/\ell_{\mathrm b}$、$\ell_{\mathrm b}=2\ell=400\,\mathrm{nm}$ である。式 (4.7.16) で、長さ $\mathrm{d} x$ ごとの薄い散乱体の $(1-\mathcal T_i)/\mathcal T_i\approx\mathrm{d} x/\ell_{\mathrm b}$ を足すと $L/\ell_{\mathrm b}$ で、

$$R=\frac{h}{2e^2}\Bigl(1+\frac{L}{\ell_{\mathrm b}}\Bigr)=12.9\,\mathrm k\Omega\times(1+2.5)=45.2\,\mathrm k\Omega$$

である。第2項は $\frac{h}{2e^2}\frac{L}{\ell_{\mathrm b}}=\frac{h}{4e^2}\frac{L}{\ell}=32.3\,\mathrm k\Omega$ で、Boltzmann 方程式の値と一致する。差の $12.9\,\mathrm k\Omega$ は接触抵抗で、鎖の中の電場で測る抵抗（4端子の抵抗）には入らず、溜めの間の電圧で測る抵抗（2端子の抵抗）に入る。Boltzmann 方程式は導体の内部の一様な電場への応答を計算したので、接触の分を含まない。この足し算は、散乱体の間で電子の位相が乱れることを仮定していて、位相を保った長い1次元の鎖では局在で成り立たない（4.7.5節）。