ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部 第7章 §4.7.6 ★★ 量子力学の授業の矩形障壁の公式、固体の授業のトンネル Hamiltonian ∑ ( T ν μ c ^ ν † c ^ μ + h . c . ) \sum(T_{\nu\mu}\hat c_\nu^\dagger\hat c_\mu+\mathrm{h.c.}) ∑ ( T ν μ c ^ ν † c ^ μ + h.c. )
矩形障壁と WKB
量子力学の授業では、1次元の矩形障壁の透過率を式 (4.7.3) の形で、障壁の高さ U b U_{\mathrm b} U b E E E (4.7.4) 、一般の形の障壁では WKB の T ≈ exp ( − 2 ∫ κ ( x ) d x ) \mathcal T\approx\exp(-2\int\kappa(x)\,\mathrm{d} x) T ≈ exp ( − 2 ∫ κ ( x ) d x ) κ ( x ) = 2 m ( U ( x ) − E ) / ℏ \kappa(x)=\sqrt{2m(U(x)-E)}/\hbar κ ( x ) = 2 m ( U ( x ) − E ) /ℏ (4.7.6) と左右の状態密度の積として出し直したもので（例題 4.7.2 ）、3次元の電極と探針の形にそのまま広げられることが違いである。
トンネル Hamiltonian
固体の授業では、トンネル接合を次の Hamiltonian で書くことが多い。
H ^ = ∑ μ ε μ c ^ μ † c ^ μ + ∑ ν ε ν c ^ ν † c ^ ν + ∑ μ , ν ( T ν μ c ^ ν † c ^ μ + T ν μ ∗ c ^ μ † c ^ ν ) (4.7.20) \hat H=\sum_\mu\varepsilon _\mu\hat c_\mu^\dagger\hat c_\mu+\sum_\nu\varepsilon _\nu\hat c_\nu^\dagger\hat c_\nu+\sum_{\mu,\nu}\bigl(T_{\nu\mu}\hat c_\nu^\dagger\hat c_\mu+T_{\nu\mu}^*\hat c_\mu^\dagger\hat c_\nu\bigr)\tag{4.7.20} H ^ = μ ∑ ε μ c ^ μ † c ^ μ + ν ∑ ε ν c ^ ν † c ^ ν + μ , ν ∑ ( T ν μ c ^ ν † c ^ μ + T ν μ ∗ c ^ μ † c ^ ν ) ( 4.7.20 )
第1項と第2項が左右の電極の電子、第3項が電子を左の状態 μ \mu μ ν \nu ν
I = 4 π e ℏ ∫ d ε ∣ T ( ε ) ∣ 2 N L ( ε ) N R ( ε ) [ f L ( ε ) − f R ( ε ) ] I=\frac{4\pi e}{\hbar}\int\mathrm{d}\varepsilon \,\lvert T(\varepsilon )\rvert ^2N_{\mathrm L}(\varepsilon )N_{\mathrm R}(\varepsilon )\bigl[f_{\mathrm L}(\varepsilon )-f_{\mathrm R}(\varepsilon )\bigr] I = ℏ 4 π e ∫ d ε ∣ T ( ε ) ∣ 2 N L ( ε ) N R ( ε ) [ f L ( ε ) − f R ( ε ) ]
と書かれる（N N N (4.7.7) と同じ式で、T ν μ T_{\nu\mu} T ν μ M ν μ M_{\nu\mu} M ν μ T ν μ T_{\nu\mu} T ν μ (4.7.6) から分かる。Landauer 公式は、メゾスコピック系の授業で G = ( 2 e 2 / h ) N G=(2e^2/h)N G = ( 2 e 2 / h ) N N N N (4.7.15) はそれを透過率 T n \mathcal T_n T n
超伝導体のトンネル接合
常伝導の金属・薄い絶縁膜・超伝導体の接合（NIS 接合）の電流電圧特性は、式 (4.7.7) で片方の状態密度を BCS の形にしたもので、授業では T = 0 T=0 T = 0 I ∝ ( e V ) 2 − Δ 2 I\propto\sqrt{(eV)^2-\Delta^2} I ∝ ( e V ) 2 − Δ 2 e ∣ V ∣ > Δ e\lvert V\rvert >\Delta e ∣ V ∣ > Δ 4.7.4 の STM 分光と同じである。
熱電能：Mott 公式の σ ( ε ) \sigma(\varepsilon ) σ ( ε ) T ( ε ) \mathcal T(\varepsilon ) T ( ε )
固体の授業では、Seebeck 係数（熱電能）を Boltzmann 方程式から Mott 公式S = − π 2 3 k B 2 T e d ln σ d ε ∣ ε F S=-\frac{\pi^2}{3}\frac{ k_{\mathrm B}^2T}{e}\,\frac{\mathrm{d}\ln\sigma}{\mathrm{d}\varepsilon }\big|_{\varepsilon _{\mathrm F}} S = − 3 π 2 e k B 2 T d ε d l n σ ε F 第4部第3章の式 ）の形で習う。ここでの S S S 4.7.2 節の面 S S S (4.7.14) は、エネルギーごとの伝導度 σ ( ε ) \sigma(\varepsilon ) σ ( ε ) ( 2 e 2 / h ) T ( ε ) (2e^2/h)\mathcal T(\varepsilon ) ( 2 e 2 / h ) T ( ε ) f L − f R f_{\mathrm L}-f_{\mathrm R} f L − f R
S = − π 2 3 k B 2 T e d ln T ( ε ) d ε ∣ ε = ε F S=-\frac{\pi^2}{3}\frac{ k_{\mathrm B}^2T}{e}\left.\frac{\mathrm{d}\ln\mathcal T(\varepsilon )}{\mathrm{d}\varepsilon }\right|_{\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm F}} S = − 3 π 2 e k B 2 T d ε d ln T ( ε ) ε = ε F
になる。前提は第4部第3章と同じで、T ( ε ) \mathcal T(\varepsilon ) T ( ε ) ε F \varepsilon _{\mathrm F} ε F k B T k_{\mathrm B} T k B T
例題 4.7.7 準位1つの分子接合の熱電能 ★★
オリジナル 準位1つの分子の接合で、Γ L = Γ R = Γ \Gamma_{\mathrm L}=\Gamma_{\mathrm R}=\Gamma Γ L = Γ R = Γ Γ \Gamma Γ Re Σ \operatorname{Re}\Sigma Re Σ Re Σ \operatorname{Re}\Sigma Re Σ ε ~ 0 \tilde\varepsilon _0 ε ~ 0 (4.7.19) は T ( ε ) = Γ 2 / [ ( ε − ε ~ 0 ) 2 + Γ 2 ] \mathcal T(\varepsilon )=\Gamma^2/[(\varepsilon -\tilde\varepsilon _0)^2+\Gamma^2] T ( ε ) = Γ 2 / [( ε − ε ~ 0 ) 2 + Γ 2 ] δ ≔ ε ~ 0 − ε F \delta\coloneqq\tilde\varepsilon _0-\varepsilon _{\mathrm F} δ : = ε ~ 0 − ε F
(1) Mott 公式から熱電能 S S S δ \delta δ Γ \Gamma Γ ε F \varepsilon _{\mathrm F} ε F S < 0 S<0 S < 0 S > 0 S>0 S > 0 (2) Γ = 0.1 e V \Gamma=0.1\,\mathrm{eV} Γ = 0.1 eV δ = + 1.0 e V \delta=+1.0\,\mathrm{eV} δ = + 1.0 eV δ = − 1.0 e V \delta=-1.0\,\mathrm{eV} δ = − 1.0 eV T = 300 K T=300\,\mathrm K T = 300 K G / G 0 G/G_0 G / G 0 S S S (3) 共鳴から遠い ∣ δ ∣ ≫ Γ \lvert \delta\rvert \gg\Gamma ∣ δ ∣ ≫ Γ S S S Γ \Gamma Γ
解答 (1) ln T = 2 ln Γ − ln [ ( ε − ε ~ 0 ) 2 + Γ 2 ] \ln\mathcal T=2\ln\Gamma-\ln[(\varepsilon -\tilde\varepsilon _0)^2+\Gamma^2] ln T = 2 ln Γ − ln [( ε − ε ~ 0 ) 2 + Γ 2 ] ε = ε F \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm F} ε = ε F
d ln T d ε ∣ ε F = − 2 ( ε F − ε ~ 0 ) ( ε F − ε ~ 0 ) 2 + Γ 2 = 2 δ δ 2 + Γ 2 , S = − π 2 3 k B 2 T e 2 δ δ 2 + Γ 2 \left.\frac{\mathrm{d}\ln\mathcal T}{\mathrm{d}\varepsilon }\right|_{\varepsilon _{\mathrm F}}=-\frac{2(\varepsilon _{\mathrm F}-\tilde\varepsilon _0)}{(\varepsilon _{\mathrm F}-\tilde\varepsilon _0)^2+\Gamma^2}=\frac{2\delta}{\delta^2+\Gamma^2},
\qquad
S=-\frac{\pi^2}{3}\frac{ k_{\mathrm B}^2T}{e}\,\frac{2\delta}{\delta^2+\Gamma^2} d ε d ln T ε F = − ( ε F − ε ~ 0 ) 2 + Γ 2 2 ( ε F − ε ~ 0 ) = δ 2 + Γ 2 2 δ , S = − 3 π 2 e k B 2 T δ 2 + Γ 2 2 δ
である。δ > 0 \delta>0 δ > 0 ε F \varepsilon _{\mathrm F} ε F ε F \varepsilon _{\mathrm F} ε F S < 0 S<0 S < 0 ε F \varepsilon _{\mathrm F} ε F δ < 0 \delta<0 δ < 0 S > 0 S>0 S > 0 ε F \varepsilon _{\mathrm F} ε F S S S ε F \varepsilon _{\mathrm F} ε F
(2) T ( ε F ) = Γ 2 / ( δ 2 + Γ 2 ) = 0.01 / 1.01 = 0.0099 \mathcal T(\varepsilon _{\mathrm F})=\Gamma^2/(\delta^2+\Gamma^2)=0.01/1.01=0.0099 T ( ε F ) = Γ 2 / ( δ 2 + Γ 2 ) = 0.01/1.01 = 0.0099 G = 0.0099 G 0 = 0.77 μ S G=0.0099\,G_0=0.77\,\mathrm{\mu S} G = 0.0099 G 0 = 0.77 μ S δ \delta δ k B / e = 86.17 μ V / K k_{\mathrm B}/e=86.17\,\mathrm{\mu V/K} k B / e = 86.17 μ V/K k B T = 0.02585 e V k_{\mathrm B} T=0.02585\,\mathrm{eV} k B T = 0.02585 eV π 2 3 k B 2 T e = 3.290 × 86.17 μ V / K × 0.02585 e V = 7.33 μ V e V / K \frac{\pi^2}{3}\frac{ k_{\mathrm B}^2T}{e}=3.290\times86.17\,\mathrm{\mu V/K}\times0.02585\,\mathrm{eV}=7.33\,\mathrm{\mu V\,eV/K} 3 π 2 e k B 2 T = 3.290 × 86.17 μ V/K × 0.02585 eV = 7.33 μ V eV/K 2 δ / ( δ 2 + Γ 2 ) = ± 1.98 e V − 1 2\delta/(\delta^2+\Gamma^2)=\pm1.98\,\mathrm{eV^{-1}} 2 δ / ( δ 2 + Γ 2 ) = ± 1.98 e V − 1 S = − 14.5 μ V / K S=-14.5\,\mathrm{\mu V/K} S = − 14.5 μ V/K δ = + 1.0 e V \delta=+1.0\,\mathrm{eV} δ = + 1.0 eV S = + 14.5 μ V / K S=+14.5\,\mathrm{\mu V/K} S = + 14.5 μ V/K δ = − 1.0 e V \delta=-1.0\,\mathrm{eV} δ = − 1.0 eV
(3) ∣ δ ∣ ≫ Γ \lvert \delta\rvert \gg\Gamma ∣ δ ∣ ≫ Γ 2 δ / ( δ 2 + Γ 2 ) ≈ 2 / δ 2\delta/(\delta^2+\Gamma^2)\approx2/\delta 2 δ / ( δ 2 + Γ 2 ) ≈ 2/ δ S ≈ − 2 π 2 3 k B 2 T e δ S\approx-\frac{2\pi^2}{3}\frac{ k_{\mathrm B}^2T}{e\delta} S ≈ − 3 2 π 2 eδ k B 2 T Γ \Gamma Γ G ≈ G 0 Γ 2 / δ 2 G\approx G_0\Gamma^2/\delta^2 G ≈ G 0 Γ 2 / δ 2 Γ \Gamma Γ Γ \Gamma Γ δ \delta δ Γ \Gamma Γ δ \delta δ δ 2 + Γ 2 ≈ 1 e V \sqrt{\delta^2+\Gamma^2}\approx1\,\mathrm{eV} δ 2 + Γ 2 ≈ 1 eV k B T = 0.026 e V k_{\mathrm B} T=0.026\,\mathrm{eV} k B T = 0.026 eV (4.7.14) の積分を数値で行って熱電能を求めると ∓ 14.7 μ V / K \mp14.7\,\mathrm{\mu V/K} ∓ 14.7 μ V/K
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
