授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第3章 §4.3.6　★★ 授業の「期待値の時間微分」の式は、Heisenberg 方程式の期待値をとったもの。演算子の方程式は期待値の式より多くを含む

期待値の時間微分

学部の量子力学の授業では、多くの場合 Schrödinger 描像だけを使い、期待値 $\langle \hat A \rangle =\langle \psi(t) | \hat A | \psi(t) \rangle$ を時刻で微分して

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat A \rangle =\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\langle [\hat A,\hat H] \rangle +\Bigl\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\Bigr\rangle\tag{4.3.20}$$

を導く。Schrödinger 方程式とその共役 $-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial t}\langle \psi |=\langle \psi |\hat H$ を使えば2行で出る式である。これを $\hat A=\hat q$, $\hat p$ に当てたものが Ehrenfest の定理として紹介され、「期待値は古典の運動方程式に従う」と説明されることが多い。この章の言葉では、式 (4.3.20) は Heisenberg 方程式 (4.3.5) の両辺を時刻 $0$ の状態で平均したものである。ただし 4.3.4節で見たように、$\langle V'(\hat q) \rangle \neq V'(\langle \hat q \rangle )$ なので、「期待値が古典の運動方程式に従う」が正確に成り立つのは $V$ が2次式までのときだけである。

演算子の方程式は、期待値の式より多くのことを含む。式 (4.3.11) を1回求めておけば、どの初期状態についても、分散 $\langle \hat q_{\mathrm H}(t)^2 \rangle -\langle \hat q_{\mathrm H}(t) \rangle ^2$ や、異なる時刻の相関 $\langle \hat q_{\mathrm H}(t)\hat q_{\mathrm H}(0) \rangle$ が初期状態の期待値の組み合わせとして書くことができる。異なる時刻の相関は、揺らぎと線形応答の理論（第3部第9章）で主役になる量で、Schrödinger 描像のまま書こうとすると状態を時刻 $0$ から $t$ へ動かし、演算子を挟み、また戻す手間が要る。

授業で並べられる古典と量子の対応を、この章の形で表にまとめる。

相互作用描像

授業では、Hamiltonian を解ける部分と小さな部分に $\hat H=\hat H_0+\hat V$ と分けたとき、演算子を $\hat H_0$ で動かし、状態を残りで動かす相互作用描像も習う。$\hat A_{\mathrm I}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\hat A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}$, $| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}| \psi(t) \rangle$ とおくと

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle =\hat V_{\mathrm I}(t)| \psi_{\mathrm I}(t) \rangle ,\qquad \hat V_{\mathrm I}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}\hat V\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_0t/\hbar}$$

となる。$\hat V_{\mathrm I}(t)$ は $\hat H_0$ についての Heisenberg 演算子にほかならないので、$\hat H_0$ が2次式なら 4.3.3節の結果をそのまま使うことができる。たとえば調和振動子に外力の項 $\hat V=-F\hat q$ を足したとき、式 (4.3.11) から $\hat V_{\mathrm I}(t)=-F\bigl(\hat q\cos\omega t+\frac{\hat p}{m\omega}\sin\omega t\bigr)$ である。古典力学では、解ける部分 $H_0$ の流れに乗った座標（初期値）に移り、残りの $V$ だけでその座標の変化を書く方法（定数変化法、正準摂動論）がこれに当たる。光と物質の相互作用で遷移確率を求める 第4部第12章は、この描像で書く。

読み比べるときの注意

教科書によって、Heisenberg 方程式を $\frac{\mathrm{d} \hat A_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[\hat H,\hat A_{\mathrm H}]$ と書くものがあるが、これは式 (4.3.5) と同じ式である（交換子の順番を入れ替えて $\mathrm{i}$ を分子に移した）。注意が要るのは $\bigl(\frac{\partial \hat A}{\partial t}\bigr)_{\mathrm H}$ の意味で、これは「演算子 $\hat A(t)$ の式に陽に入っている $t$ で微分してから $\hat U^\dagger\cdots\hat U$ で挟む」ものであり、$\frac{\mathrm{d} \hat A_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}$ とは別物である。時刻を陽に含む演算子の例が下の例題である。