授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第9章 §3.9.6　★★ Einstein の関係・Johnson–Nyquist の雑音・Drude の交流伝導度・量子の久保公式は、どれもこの章の古典の式の特別な場合か量子化した形である

Einstein の関係と Nyquist の雑音

半導体や電気化学の授業では、移動度 $\mu_{\mathrm e}$（電場あたりの終端速度）と拡散係数 $D$ のあいだの Einstein の関係を

$$D=\frac{\mu_{\mathrm e} k_{\mathrm B} T}{e}$$

と習う。電荷 $e$ の粒子に電場 $E$ をかけると力は $F=eE$ なので、$v_{\mathrm d}/F=\mu_{\mathrm e}/e$ で、これは式 (3.9.25) そのものである。授業ではこの式を、拡散の流れとドリフトの流れが釣り合う平衡（濃度が Boltzmann 分布）の条件から出すことが多い。この章ではそれを久保の公式の一例として出した。

電気回路の授業では、抵抗 $R$ の両端に現れる熱雑音（Johnson–Nyquist 雑音）を、帯域 $\Delta f$ あたり

$$\overline{V^2}=4 k_{\mathrm B} TR\,\Delta f$$

と習う（Johnson (1928), Phys. Rev. 32, 97 が測り、Nyquist (1928), Phys. Rev. 32, 110 が導いた）。この章の形に直す。インダクタンス $L$、抵抗 $R$、容量 $C$ の直列回路の電荷 $q$ は$L\ddot q+R\dot q+q/C=V_{\mathrm{ext}}$ に従い、これは式 (3.9.16) で $m\to L$, $m\gamma\to R$, $m\omega_0^2\to1/C$ と読み替えたものである。熱浴の雑音 $\xi$ は抵抗の中の電圧の揺らぎで、式 (3.9.23) から $\langle \xi(t)\xi(s) \rangle =2R k_{\mathrm B} T\,\delta(t-s)$、そのパワースペクトルは周波数によらず $\tilde C_{\xi\xi}(\omega)=2R k_{\mathrm B} T$ である。この章の $\tilde C$ は $-\infty<\omega<\infty$ の両側に広がり $\mathrm{d}\omega/(2\pi)=\mathrm{d} f$ で積分するものなので、正の周波数だけで数える授業の流儀に直すと2倍して $4R k_{\mathrm B} T$ になる。

Drude の交流伝導度

固体物理の授業では、Drude の交流伝導度を $\sigma(\omega)=\sigma_0/(1-\mathrm{i}\omega\tau)$ と習う。久保の公式で、外力を電場 $F=E$（$x$ 方向）、それがつかむ量を $A=\sum_a(-e)x_a$（電子の電荷 $-e$ と位置の積の和）とし、$B$ を電流密度 $J_x=\frac{1}{V_{\mathrm{vol}}}\sum_a(-e)v_{a}$（$V_{\mathrm{vol}}$ は体積）とすると、$\dot A=V_{\mathrm{vol}}J_x$ なので伝導度は電流の相関の積分 $\sigma(\omega)=\beta V_{\mathrm{vol}}\int_0^\infty\langle J_x(0)J_x(t) \rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{d} t$ になる。粒子どうしの速度の相関を無視すると $V_{\mathrm{vol}}\langle J_x(0)J_x(t) \rangle =ne^2\langle v(0)v(t) \rangle$ で、1粒子の速度の相関を緩和時間 $\tau$ で $\langle v(0)v(t) \rangle =\frac{ k_{\mathrm B} T}{m}\mathrm{e}^{-t/\tau}$ とおくと、$\sigma(\omega)=ne^2\beta\int_0^\infty\frac{ k_{\mathrm B} T}{m}\mathrm{e}^{-t/\tau}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{d} t=\frac{ne^2\tau/m}{1-\mathrm{i}\omega\tau}$ で、授業の式が出る。同じ式を Boltzmann 方程式の緩和時間近似から出す道筋は第3部第8章にある（第3部第8章）。

量子力学の久保公式

量子統計の授業では、久保の公式を

$$\chi_{BA}(t)=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\,\theta(t)\,\langle \left[\hat B_{\mathrm H}(t),\,\hat A\right] \rangle _{\mathrm{eq}}$$

と習う。$\hat B_{\mathrm H}(t)$ は Heisenberg 描像の演算子、$\langle \cdots \rangle _{\mathrm{eq}}=\operatorname{Tr}(\hat\rho_{\mathrm{eq}}\cdots)$ である。古典との対応は、交換子を Poisson 括弧に置き換える規則 $\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)\to\{\cdot,\cdot\}$（第4部第1章）で見える。$\mathrm{i}/\hbar=-1/(\mathrm{i}\hbar)$ だから右辺は $-\langle \{B(t),A\} \rangle =\langle \{A,B(t)\} \rangle$ になり、部分積分（$\int\{A,\rho B\}\,\mathrm{d}\Gamma=0$）と式 (3.9.6) から$\langle \{A,B(t)\} \rangle =-\int B(t)\{A,\rho_{\mathrm{eq}}\}\,\mathrm{d}\Gamma=\beta\langle \dot A(0)B(t) \rangle$ となって、式 (3.9.8) に戻る。

揺動散逸定理の量子版は、対称化しない相関 $\tilde C_{AA}(\omega)=\int\mathrm{d} t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\langle \hat A_{\mathrm H}(t)\hat A \rangle _{\mathrm{eq}}$ について

$$\tilde C_{AA}(\omega)=\frac{2\hbar}{1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}}\,\operatorname{Im}\chi_{AA}(\omega)$$

である。$\beta\hbar\omega\ll1$ では $1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}\approx\beta\hbar\omega$ で、古典の式 (3.9.15) に戻る。量子の式では $\tilde C(-\omega)=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}\tilde C(\omega)$ で、正と負の周波数が対称でない。正の周波数（系がエネルギーを受け取る向き）の揺らぎは、低い準位にいる確率が高い分だけ大きい。量子統計の一般論は第5部第1章で扱う（第5部第1章）。