この章のまとめ

(1) $\frac{\partial L}{\partial \dot q}=m\dot q$, $\frac{\partial L}{\partial q}=-m\omega^2q$ を Euler–Lagrange 方程式 (1.1.2) に入れて $m\ddot q+m\omega^2q=0$、すなわち $\ddot q=-\omega^2q$。

(2) $p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}=m\dot q$。$\dot q=p/m$ を $H=p\dot q-L$ に入れると

$$H(q,p)=\frac{p^2}{m}-\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2 .$$

(3) $H$ は時間の並進の生成子で、$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\{H,H\}+\frac{\partial H}{\partial t}$ である。Poisson 括弧の定義 (1.1.8) から $\{H,H\}=\frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0$、$H$ は時刻をあらわに含まないので $\frac{\partial H}{\partial t}=0$。よって $H$ は保存する。一般解では $p=m\dot q=-m\omega A\sin(\omega t+\varphi)$ なので

$$H=\frac{m^2\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\varphi)}{2m}+\frac12m\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\varphi)=\frac12m\omega^2A^2$$

で、時刻に依らない。

(4) $H=E$ の軌道は $\dfrac{p^2}{2mE}+\dfrac{q^2}{2E/(m\omega^2)}=1$ の楕円で、半軸は $p_{\max}=\sqrt{2mE}$, $q_{\max}=\sqrt{2E/(m\omega^2)}$。面積は

$$\pi\,p_{\max}q_{\max}=\pi\sqrt{2mE}\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}=\frac{2\pi E}{\omega}.$$

$\oint p\,\mathrm{d} q$ は軌道が囲む面積なので $J=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{2\pi E}{\omega}=\dfrac{E}{\omega}$。

(5) $E/\omega=\bigl(n+\frac12\bigr)\hbar$ から $E_n=\bigl(n+\frac12\bigr)\hbar\omega$（$n=0,1,2,\dots$）。$\omega=1.0\times10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ では準位の間隔が $\hbar\omega=1.0546\times10^{-34}\times1.0\times10^{14}\approx1.05\times10^{-20}\,\mathrm J\approx0.0658\,\mathrm{eV}$、最低の準位が $E_0=\frac12\hbar\omega\approx0.0329\,\mathrm{eV}$ である。Schrödinger 方程式 $-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+\frac12m\omega^2q^2\psi=E\psi$ を $\hbar=m=\omega=1$ の単位で、幅 $24$ の区間を $400$ 点に分けた差分で対角化すると、小さい方から $0.4999$, $1.4994$, $2.4985$, $3.4972$ が得られ、$n+\frac12$ と差分の誤差の範囲で一致する。調和振動子は、近似である Bohr–Sommerfeld の条件から厳密な準位が出る特別な場合である。一般のポテンシャルでは両者はずれ、そのずれの大きさは 第4部第7章 と 近似の数理 第7章で扱う。