1つ目の道具：Legendre 変換は力学と熱力学で同じ操作

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第1章 §1.1.3　★★★ $L\leftrightarrow H$ と $U\leftrightarrow F$ が同じ図の上の同じ操作であることを先に見る

傾きと切片で曲線を表し直す

1変数の関数 $f(v)$ が下に凸（$f''(v)>0$）だとする。グラフの各点には接線が1本引け、凸なので傾き $p=f'(v)$ と点 $v$ は1対1に対応する。傾き $p$ の接線は縦軸を切片 $f(v)-pv$ で切る。この切片の符号を変えたもの

$$f^*(p)=pv-f(v)\Big|_{p=f'(v)}=\max_v\bigl[pv-f(v)\bigr]\tag{1.1.3}$$

を $f$ の Legendre 変換と呼ぶ。2つ目の等号は、$pv-f(v)$ を $v$ で微分して $0$ とおくと $p=f'(v)$ が出ること、凸なのでそこが最大であることによる。曲線は「各点の座標 $(v,f(v))$ の集まり」としても「各傾きの接線の集まり」としても表すことができ、Legendre 変換は前者から後者への持ち替えにあたる（図 1.1.3）。

図 1.1.3　$f(v)=v^2/2$ の点 $v=1$ での接線（破線）。傾きは $p=1$、縦軸の切片は $-f^*(p)=-1/2$。傾き $p$ を決めると接線が1本決まり、その切片から $f^*(p)$ を読み取ることができる。

力学では $f$ に $L$ を、$v$ に速度 $\dot q$ を当てはめる。傾き $p=\frac{\partial L}{\partial \dot q}$ が正準運動量で、

$$H(q,p)=p\dot q-L(q,\dot q)\Big|_{p=\partial L/\partial\dot q}\tag{1.1.4}$$

がハミルトニアンである（$q$ は変換のあいだ止めておく）。$L=\frac12m\dot q^2-V(q)$ なら $p=m\dot q$, $H=\frac{p^2}{2m}+V(q)$ となり、$H$ は全エネルギーを運動量で書いたものになる。

熱力学では $f$ に内部エネルギー $U(S)$ を、$v$ にエントロピー $S$ を当てはめる（体積は止めておく）。傾き $\frac{\partial U}{\partial S}$ が温度 $T$ で、Helmholtz の自由エネルギーは

$$F(T)=U-TS\Big|_{T=\partial U/\partial S}\tag{1.1.5}$$

である。式 (1.1.3) と比べると $F=-U^*(T)$ で、全体の符号が逆になっている。熱力学では切片そのものを、力学では切片の符号を変えたものを使う、という慣習の違いにすぎず、接線の傾きで曲線を表し直すという操作は同じである。この対応は 第3部第4章 で、Gibbs のエネルギー $G$ まで含めて扱う。

Legendre 変換をもう一度当てると元に戻る。$f^*$ の傾きは $\frac{\mathrm{d} f^*}{\mathrm{d} p}=v$ で、$f^{**}(v)=pv-f^*(p)$ は $f(v)$ に一致する。力学ではこれが $\frac{\partial H}{\partial p}=\dot q$（Hamilton 方程式の片方）にあたり、熱力学では $-\frac{\partial F}{\partial T}=S$ にあたる。$H$ を $\dot q$ でなく $p$ の関数として書く理由、単なる変数の置き換えでは情報が落ちる理由は 第1部第7章 で扱う。