当てる道具：第1部の並びと巻の読み方

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第1章 §1.1.2　★★★ 第1部の14章が作る道具を並べ、各章がどれを使うかを示す

第1部の14章

第1部は、第2部以降で当てる道具を作る部である。道具は大きく4つのまとまりに分かれる（図 1.1.2）。

1つ目は変分の数学で、第2〜4章にあたる。第2章で配置を一般化座標 $q$ で表し、第3章で「関数を入れて数を返す」汎関数と、経路をずらす操作 $\delta$ を定義する。第4章で一般の $L$ について停留の条件を書き下し、Euler–Lagrange 方程式 (1.1.2) と端の条件を導く。第3・4章は物理を使わずに数学だけで1周する。

2つ目は$L$ の選び方で、第5・6章にあたる。第5章で、なぜ粒子の力学では $L=T-V$ を選ぶのかを、Galilei 変換に対する性質から考える。第6章では、振り子の糸のように動きを縛る拘束を、座標の選び方と未定乗数の2つの方法で扱う。

3つ目は$L$ から $H$ への持ち替えで、第7・8章にあたる。第7章の Legendre 変換は、速度 $\dot q$ を変数とする $L$ を、運動量 $p$ を変数とする $H$ に情報を落とさずに持ち替える操作である。第8章で、$q$ と $p$ を対等な変数とみなす相空間と Hamilton 方程式を導入する。

4つ目は生成子と変換で、第9〜14章にあたる。第9章で変換を「ほんの少しだけずらす」形に書き、ずらし方を決める量（生成子）を取り出す。第10章で生成子が保存量になること（Noether の定理）、第11章で生成子が Poisson 括弧を通して状態を動かすこと、第12章で時間発展そのものが正準変換の連続であることを示す。第13章の Hamilton–Jacobi 方程式と第14章の作用角変数・断熱不変量は、第4部の量子力学と第3部の統計力学へ直接つながる。

図 1.1.2　第1部の4つのまとまりと、それを使う部。矢印は、後のまとまりが前のまとまりの結果を使うことを表す。第5部は第1部の道具をすべて使う。

つまずきやすい3か所

第1部の章の分け方は、解析力学を学ぶときにつまずきやすい3か所に合わせてある。

1か所目は変分の記号 $\delta$ である。多くの教科書は「経路をわずかに変えたときの作用の変化」を $\delta S$ と書き、普通の微分の規則をそのまま当てはめて計算する。しかし $\delta$ が何についての微分なのかが書かれていないと、$\delta\dot q=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q$ のような操作がなぜ許されるのかが分からない。第3章では、経路の族 $q+\epsilon\eta$ を作り、実数 $\epsilon$ で普通に微分する操作として $\delta$ を定義するので、この操作の根拠を1行で書くことができる。

2か所目は Legendre 変換である。$H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ という式だけを見ると、単に変数 $\dot q$ を $p$ に置き換えただけに見える。置き換えだけでは情報が落ちる場合があり、Legendre 変換はそれを落とさないように作った操作である。第7章では図から入り、この違いを例題で確かめる。

3か所目は無限小変換である。並進・回転・時間発展を「ほんの少しだけずらす」形で書くと、ずらし方を決める量が保存量になり、同じ量が Poisson 括弧で状態を動かし、量子力学ではそれが交換子に置き換わる。この3つは多くの教科書では別々の章に分かれているが、第9〜12章では1本の議論としてつなげて書く。

巻の読み方

各章の頭と各節の頭には重要度の印（★の数と色）を付けた。基準は、その章や節が「解析力学で各理論を読む」という巻の主題にとってどれだけ中心にあるかである。各節に例題を1問以上置き、章の最後のまとめの節に、章全体と前の章をつなぐ総合問題を1問置く。近似を使った節の末尾には、その近似を数学の言葉でどう裏付けるかを書いた「近似の裏付け」の札を置き、証明は近似の数理（近似の数理 第1章）へ送る。

単位は SI で、$\hbar$, $c$, $k_{\mathrm B}$ を式に残す（第5部の場の量子論の章だけ $\hbar=c=1$ とし、そう書いた章の冒頭で断る）。記号の流儀のうち、最初から気をつけてほしいのは2つである。1つは、経路をずらす操作を $\delta$、普通の微分を $\mathrm{d}$、有限の差を $\Delta$ と書き分けること。もう1つは、経路全体を入れる作用を角括弧で $S[q]$、Hamilton–Jacobi 方程式に出てくる座標と時刻の関数を丸括弧で $S(q,t)$ と書き分けることである。