2つ目の道具：ずらしても変わらないものが保存する

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第1章 §1.1.4　★★★ Noether の定理と生成子を、並進・回転・時間発展の3つで並べて先に使う

無限小変換と保存量

一般化座標を、実数 $\epsilon$ だけわずかにずらす変換

$$q_i\to q_i+\epsilon K_i(q)\qquad(i=1,\dots,f)\tag{1.1.6}$$

を考える（$K_i$ はずらし方を決める関数）。この変換で $L$ が $\epsilon$ の1次まで変わらないとき、

$$Q=\sum_{i=1}^fp_iK_i(q),\qquad p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\tag{1.1.7}$$

は運動のあいだ一定に保たれる。これが Noether の定理の最も簡単な形である。

理由は Euler–Lagrange 方程式 (1.1.2) から1行で出る。変換で $\dot q_i$ は $\dot q_i+\epsilon\dot K_i$ に変わるので、$L$ の1次の変化は$\epsilon\sum_i\bigl(\frac{\partial L}{\partial q_i}K_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot K_i\bigr)$ である。一方、$Q$ の時間微分は、運動方程式 $\dot p_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}$ を使うと

$$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}=\sum_i\bigl(\dot p_iK_i+p_i\dot K_i\bigr)=\sum_i\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q_i}K_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot K_i\Bigr)$$

となり、$L$ の1次の変化を $\epsilon$ で割ったものと同じ式になる。$L$ が変わらないならこれは $0$ なので、$Q$ は保存する。$L$ が全微分の分だけ変わる場合や、時刻もずらす変換を含めた一般の形は 第1部第10章 で示す。

保存量が変換を起こす

式 (1.1.7) の $Q$ には、もう1つの役割がある。相空間の関数 $A(q,p)$, $B(q,p)$ の Poisson 括弧を

$$\{A,B\}=\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\Bigr)\tag{1.1.8}$$

で定義すると、$\{q_i,Q\}=\frac{\partial Q}{\partial p_i}=K_i$ なので、変換 (1.1.6) は $\delta q_i=\epsilon\{q_i,Q\}$ と書き直すことができる。保存量 $Q$ を Poisson 括弧の片方に入れると、その保存量に対応する変換が出てくる。この意味で $Q$ をその変換の生成子と呼ぶ。並進・回転・時間発展について、変換と生成子を並べると次のようになる。

時間発展の行は、Hamilton 方程式 $\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}=\{q_i,H\}$ を「$H$ が時間の並進を生成する」と読んだものである。量子力学では Poisson 括弧が交換子に置き換わり（$\{\cdot,\cdot\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$）、運動量が空間の並進を、角運動量が回転を、ハミルトニアンが時間発展を生成する、という同じ表がそのまま成り立つ。この置き換えは第4部で、場の Noether の定理（電荷の保存・エネルギー運動量テンソル）は 第2部第7章 で扱う。無限小変換・保存量・Poisson 括弧の3つを1本の議論として組み立てるのが、第1部第9〜11章の役目である。