3つ目の道具：Hamilton–Jacobi 方程式と波

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第1章 §1.1.5　★★★ 作用を座標と時刻の関数とみなすと、古典力学と波動力学が同じ方程式の2つの極限になる

座標と時刻の関数としての作用

式 (1.1.1) の作用は経路を入れて数を返すものだった。始点 $(q_0,t_0)$ を決め、終点 $(q,t)$ を変数として、その2点を結ぶ実際の経路に沿って作用を計算すると、$q$ と $t$ の普通の関数 $S(q,t)$ ができる。これを Hamilton の主関数と呼ぶ。終点を動かしたときの $S$ の変化を調べると（第1部第13章）、

$$\frac{\partial S}{\partial q}=p,\qquad \frac{\partial S}{\partial t}+H\Bigl(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\Bigr)=0\tag{1.1.9}$$

が成り立つ。2つ目が Hamilton–Jacobi 方程式で、運動方程式を $S(q,t)$ についての1本の偏微分方程式に書き直したものである。$H$ が時刻に依らなければ $S(q,t)=W(q)-Et$ と分けることができ、$W(q)$ は $H(q,\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} q})=E$ を満たす。$W(q)=\int p\,\mathrm{d} q$ は経路に沿って運動量を積分したものである。

波の位相としての作用

量子力学の波動関数を $\psi=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$（$A$ は定数）と書き、1次元の Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial q^2}+V(q)\psi$ に入れると、$\psi$ で割った式は

$$\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\Bigl(\frac{\partial S}{\partial q}\Bigr)^2+V(q)=\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}\frac{\partial^2S}{\partial q^2}\tag{1.1.10}$$

になる。左辺は Hamilton–Jacobi 方程式 (1.1.9) の左辺そのもので、右辺だけが $\hbar$ に比例する余分な項である。自由粒子の平面波 $S=pq-\frac{p^2}{2m}t$ では $\frac{\partial^2S}{\partial q^2}=0$ なので右辺が消え、$\psi=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(pq-Et)/\hbar}$ は Schrödinger 方程式の厳密な解になる。このとき波数は $k=p/\hbar$、角周波数は $\omega=E/\hbar$ で、de Broglie と Einstein の関係が作用を位相とみなすことから出てくる。

一般の $V(q)$ では右辺は消えない。しかし右辺と左辺の各項の比は、おおよそ $\hbar\lvert \partial^2S/\partial q^2\rvert /\lvert \partial S/\partial q\rvert ^2$ の大きさで、これは波長が1波長のあいだにどれだけ変わるかを表す。波長の変化が緩やかなら右辺を落としてよく、波動関数の位相は古典力学の作用で決まる。これが WKB 近似であり、Hamilton–Jacobi 方程式は量子力学の $\hbar\to0$ の極限として現れる。WKB 近似の中身は 第4部第7章 で、作用 $S[q]$ をそのまま位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[q]/\hbar}$ として経路について足し合わせる経路積分は 第4部第8章 で扱う。

作用変数と量子化

周期運動では、相空間の閉じた軌道に沿った作用変数

$$J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q\tag{1.1.11}$$

が、軌道の囲む面積を $2\pi$ で割ったものになる（第1部第14章）。WKB 近似で波動関数が一周して元に戻る条件を課すと、Bohr–Sommerfeld の量子化条件 $J=\bigl(n+\frac12\bigr)\hbar$（$n=0,1,2,\dots$）が出る。調和振動子 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2$ では軌道は楕円で、$J=E/\omega$ になるので$E_n=\bigl(n+\frac12\bigr)\hbar\omega$ を得る。調和振動子では、この値が Schrödinger 方程式の厳密な固有値と一致する（1.1.7節の総合問題）。図 1.1.4 は、この条件で選ばれる軌道を描いたものである。

図 1.1.4　調和振動子の相空間の軌道のうち、Bohr–Sommerfeld の条件で選ばれるもの（$m=\omega=\hbar=1$ の単位では円になる。半径 $\sqrt{2n+1}$）。最も内側の軌道（塗りつぶし）の面積は $\pi\hbar$ である。