授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第1章 §1.1.6　★★ Newton の運動方程式・作用反作用・熱力学の関係式・交換関係が、この巻のどの式にあたるか

この節では、解析力学を使わずに習う形と、この巻の形を式で並べる。

運動方程式とエネルギーの保存

力学の授業では、運動方程式 $m\ddot x=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x}$ から出発する。この巻では $L=\frac12m\dot x^2-V(x)$ を選び、Euler–Lagrange 方程式 (1.1.2) を当てる。$\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x$, $\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x}$ なので、両者は同じ式である。

エネルギーの保存は、授業では運動方程式の両辺に $\dot x$ を掛けて

$$m\ddot x\dot x+\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x}\dot x=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\frac12m\dot x^2+V\Bigr)=0$$

と示す。この巻では、$L$ が時刻 $t$ をあらわに含まないこと（時間の並進で変わらないこと）から、その生成子である $H$ が保存する、と読む（1.1.4節の表の3行目）。$\dot x$ を掛けるという手順が、時間の並進という変換を選ぶことにあたる。

作用反作用と運動量の保存

2つの物体の運動量の和が保存することは、授業では作用反作用の法則から示す。物体1が物体2から受ける力と、物体2が物体1から受ける力が逆向きで同じ大きさなので、2つの運動方程式を足すと力が打ち消し合う。この巻では、2物体の位置エネルギーが差 $x_1-x_2$ だけに依ることを、2物体を同時に同じだけずらす並進で $L$ が変わらない、と読み、Noether の定理から $p_1+p_2$ の保存を出す。作用反作用の法則は、位置エネルギーが差だけに依ることの結果として出てくる（下の例題）。

熱力学の関係式と交換関係

熱力学の授業では $F=U-TS$ を定義として置き、$\mathrm{d} F=-S\,\mathrm{d} T-P\,\mathrm{d} V$ を導く。この巻では、これを $U(S,V)$ を $S$ について Legendre 変換したものと読む（式 (1.1.5)）。$-\frac{\partial F}{\partial T}=S$ は、Legendre 変換を2回当てると元に戻ることの言い換えである。

量子力学の授業では、運動量を演算子 $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} q}$ に置き換えるところから始める。このとき任意の関数 $\psi(q)$ について

$$\left[\hat q,\,\hat p\right]\psi=q\Bigl(-\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} q}\Bigr)-\Bigl(-\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} (q\psi)}{\mathrm{d} q}\Bigr)=\mathrm{i}\hbar\psi$$

となり、交換関係 $\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ が出る。この巻では、これを Poisson 括弧 $\{q,p\}=1$ を $\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ に置き換えたものと読む（第4部第1章）。何をどこまで置き換えてよいのか、置き換えで決まらない部分（演算子の並べ方）は何か、という問いがそこで改めて立つ。

対応をまとめると次のようになる。