この章のまとめ

(1) ばねは壁と原子1の間から原子 $N-1$ と $N$ の間までの $N$ 本で、

$$L=\sum_{j=1}^N\frac12m\dot u_j^2-\sum_{j=0}^{N-1}\frac12K(u_{j+1}-u_j)^2,\qquad u_0\equiv0 .$$

内部の原子 $j=1,\dots,N-1$ は両側にばねがあるので、第2節と同じく $m\ddot u_j=K(u_{j+1}+u_{j-1}-2u_j)$（$j=1$ では $u_0=0$ を入れる）。原子 $N$ は左のばねだけなので $m\ddot u_N=-K(u_N-u_{N-1})$。これは $m\ddot u_N=K(u_{N+1}+u_{N-1}-2u_N)$ で $u_{N+1}=u_N$ としたものに等しい。架空のばね $(N,N+1)$ の伸び $u_{N+1}-u_N$ が $0$、つまり自由端では端の原子を右へ引く力が無い、という条件である。

(2) $\sin(j\theta)$ は $j=0$ で $0$ なので壁の条件を満たす。内部の方程式に入れると、第3節と同じ計算で $\sin((j+1)\theta)+\sin((j-1)\theta)-2\sin(j\theta)=-4\sin^2(\theta/2)\sin(j\theta)$ から$m\omega^2=4K\sin^2(\theta/2)$。残る条件は (1) の $u_{N+1}=u_N$ で、

$$\sin((N+1)\theta)-\sin(N\theta)=2\cos\frac{(2N+1)\theta}{2}\sin\frac\theta2=0 .$$

$\sin(\theta/2)=0$ は全部の $u_j$ が $0$ になるので除くと、$\cos((2N+1)\theta/2)=0$ から

$$\theta_l=\frac{(2l-1)\pi}{2N+1},\qquad \omega_l=2\sqrt{\frac Km}\sin\frac{(2l-1)\pi}{2(2N+1)}\qquad(l=1,\dots,N).$$

$l=N+1,\dots$ は $\theta$ が $\pi$ を越え、$l=1,\dots,N$ のどれかと同じ原子の運動になる（第3節の Brillouin 域と同じ理由）。

(3) $N=2$ の運動方程式は $m\ddot u_1=K(u_2-2u_1)$、$m\ddot u_2=K(u_1-u_2)$ で、力の定数行列は $K\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$。固有方程式 $(2-\lambda)(1-\lambda)-1=\lambda^2-3\lambda+1=0$ から $\lambda=(3\mp\sqrt5)/2=0.382,\ 2.618$ で、$m\omega^2=\lambda K$。(2) の式では $4\sin^2(\pi/10)=2(1-\cos(\pi/5))=(3-\sqrt5)/2$、$4\sin^2(3\pi/10)=2(1-\cos(3\pi/5))=(3+\sqrt5)/2$（$\cos(\pi/5)=(1+\sqrt5)/4$、$\cos(3\pi/5)=(1-\sqrt5)/4$）で一致する。

(4) $\sqrt{K/m}=\sqrt{Y/\rho}/a=v/a$、$a=\ell/(N+\frac12)$ から、$\sin$ の引数 $\frac{(2l-1)\pi}{2(2N+1)}=\frac{(2l-1)\pi a}{4\ell}$ は $N\to\infty$ で $0$ に近づき、

$$\omega_l=\frac{2v}{a}\sin\frac{(2l-1)\pi a}{4\ell}\ \longrightarrow\ \frac{(2l-1)\pi v}{2\ell}.$$

弦の作用の変分は、第5節の計算で $x$ についての部分積分の端の項を残して

$$\delta S=\int\mathrm{d} t\int_0^\ell\bigl(-\rho\,\partial_t^2u+Y\,\partial_x^2u\bigr)\delta u\,\mathrm{d} x-\int\mathrm{d} t\,\bigl[Y\,\partial_xu\,\delta u\bigr]_{x=0}^{x=\ell}.$$

左端では $\delta u=0$。右端の $\delta u(\ell,t)$ は任意なので、波動方程式に加えて $\partial_xu(\ell,t)=0$ が要る。これが自由端の自然境界条件で、(1) の $u_{N+1}=u_N$（隣との差が $0$）の連続版である。$u=\sin(kx)\cos\omega t$ は $u(0)=0$ を満たし、$\partial_xu(\ell)=k\cos(k\ell)=0$ から $k=(2l-1)\pi/(2\ell)$、$\omega=vk=(2l-1)\pi v/(2\ell)$ で、極限の $\omega_l$ と一致する。自由端は最後の原子より半格子だけ外にあるとみなすのがよく、$\ell=(N+\frac12)a$ と取ったのはそのためである。

(5) $N=8$ では $2N+1=17$。$\omega_l$ と弦の値 $(2l-1)\pi v/(2\ell)$ の比は、$x_l=(2l-1)\pi/17$ として $\sin(x_l/2)/(x_l/2)$ である。$l=1$ で $x_1=0.1848$、比は $0.99858$。$l=8$ で $x_8=15\pi/17$、比は $0.709$。$l=1$ のずれ $1-0.99858=0.00142$ は、式 (2.4.16) の $(ka)^2/24$ に $ka=x_1$ を入れた $(\pi/17)^2/24=0.00142$ と一致する。いちばん長い波長のモードは原子8個でも弦とほぼ同じだが、いちばん短いモードは弦の値の $7$ 割しかない。連続の極限が近似として使えるのは、波長が格子定数より十分長いモードに限られる（検算 scripts/verify_ch2-04.py）。