出てくるもの1：古いブラックホールは鏡になる

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第4章 §7.4.3　★★★ 定理を古いブラックホール・若いブラックホール・その中間に当て、日記は「Page 時間」と「日記を入れてから $k$ 量子ビット」の遅い方で出てくることを示す

立ち上がりの位置

定理 7.4.2 の比を量子ビットの数で書く。$d_A=2^k$、$d_E=2^m$、$d_L=2^s$、$d_C=2^{n+k-s}$ を入れると

$$\frac{d_Ad_C}{d_Ed_L}=2^{\,2k+(n-m)-2s},\qquad \mathbb E\,I(R;C)\le\ln\bigl(1+2^{\,2k+(n-m)-2s}\bigr)\tag{7.4.11}$$

になる。指数が負になる、すなわち

$$s>k+\frac{n-m}{2}\tag{7.4.12}$$

を境に、$I(R;C)$ は1量子ビット増えるごとに4分の1ずつ小さくなる。

古いブラックホール（$m=n$）では、条件は $s>k$ である。$s=k+c$ 個の量子ビットが出れば

$$\mathbb E\,I(R;C)\le\ln\bigl(1+4^{-c}\bigr)\le4^{-c},\qquad F\ge1-2^{-c}/\sqrt2\tag{7.4.13}$$

で、日記の大きさ $k$ に $c$ を足した数の量子ビットを待てば、誤りは $2^{-c}$ で小さくなる。ブラックホールの大きさ $n$ はこの式に入らない。太陽質量のブラックホール（$n\approx1.5\times10^{77}$）でも、1 kB の日記（$k=8000$）なら $8020$ 量子ビット程度の放射で忠実度 $1-10^{-6}$ を超える。これが Hayden と Preskill が「鏡」と呼んだ振る舞いである。

若いブラックホール（$m=0$）では、条件は $s>k+n/2$ である。ブラックホールの半分以上が放射として出るまで、日記は1ビットも取り出すことができない。

中間：Page 時間との関係

ブラックホールが $N$ 量子ビットの純粋な状態から生まれ、それまでに $m'$ 量子ビットを放射したとする。Page の結果（第7部第3章の式 (7.3.7)）によれば、混ぜる力学のもとで放射とブラックホールのもつれは $\min(m',N-m')$ 量子ビット分で、残りのブラックホールは $n=N-m'$ 量子ビットである。Page 時間の前（$m'<N/2$）では $B$ のうちもつれているのは $m=m'$ 量子ビットで、式 (7.4.12) は $s>k+(N-2m')/2$、すなわち

$$m'+s>\frac N2+k\tag{7.4.14}$$

になる。放射の総数が Page 時間の量 $N/2$ を $k$ だけ超えた所で日記が出る。Page 時間の後（$m'\ge N/2$）では $B$ 全体がもつれていて $s>k$ である。まとめると、

図 7.4.2 は、$k=2$、$n=8$ の模型で $m=8,4,0$ の3通りを描いたものである。実線は定理の上界、点線は Haar 乱数のユニタリを3つ選んで $I(R;C)$ を直接計算した平均で、どちらも式 (7.4.12) の $s=2,4,6$ を過ぎた所で急に落ちる。

なぜ古いブラックホールは速いか

古いブラックホールでは、Bob が初期の放射 $E$ を持っていることが決定的である。$E$ は $B$ と最大にもつれているので、Bob から見ると $B$ は「自分の手元にある系の片割れ」である。$L$ が出てくると、Bob は $E$ と $L$ を合わせて読むことができる。もし $E$ が無ければ、$L$ の中の日記の情報は、$L$ の他の部分が $B$ のもつれで覆い隠されていて読むことができない。$E$ があると、Bob はその覆いを手元の片割れで打ち消すことができる。超高密度符号（第3部第6章）で、あらかじめ共有したもつれが1量子ビットあたりの送れる情報を2倍にしたのと同じ仕組みで、この点は次の節で不等式として確かめる。