出てくるもの2：鏡を量子誤り訂正として読む

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第4章 §7.4.4　★★ 日記を $AB$ に書き込む操作を、Bob の手元にもつれを持つ符号とみなし、$C$ の消失を直せる条件として読む。$k$ 量子ビットは下限で、若いブラックホールの遅れ $k+n/2$ は量子 Singleton 上界の等号である

符号としての $\hat U$

日記 $A$ の状態 $| \psi \rangle _A$ を、$| \psi \rangle _A\mapsto\hat U\bigl(| \psi \rangle _A\otimes| \Phi \rangle _{B_1E}\otimes| 0 \rangle _{B_2}\bigr)$ によって $C\cup L\cup E$ に書き込む写像を考える。これは $k$ 個の論理量子ビットを書き込む量子誤り訂正の符号で、受け手の手元にあらかじめ $E$ を置いておく形をしている（もつれを補助に使う符号）。「残ったブラックホール $C$ が手に入らない」ことは $C$ の消失で、第3部第9章では消失を直せる条件が $I(R;\text{消失した部分})=0$ だった。式 (7.4.3) はその条件そのものである。Hayden–Preskill の問いは、「乱数の符号は、どれだけ大きな消失を直せるか」と言い換えることができる。

$k$ 量子ビットは下限

どんなユニタリ $\hat U$ を使っても、$s<k$ では日記を取り戻すことができない。初めは $R$ と $E$ は独立なので $I(R;E)=0$ で、相互情報量の連鎖律と、条件付きエントロピーの大きさ $\lvert S(L\,|\,X)\rvert \le S(L)$（Araki–Lieb の不等式。第3部第2章）から

$$I(R;EL)=I(R;E)+I(R;L\,|\,E)=S(L\,|\,E)-S(L\,|\,RE)\le2S(L)\le2s\ln2\tag{7.4.15}$$

を得る。取り戻すには $I(R;EL)=2k\ln2$ が要るので、$s\ge k$ が必要である。古いブラックホールの乱数のユニタリは $s=k+c$ でこの下限に達し、$c$ の分だけ誤りが指数関数的に小さくなる。1量子ビットの放射で $2\ln2$ の相関を運べるのは、手元の $E$ を補助に使っているからで、超高密度符号で1量子ビットが2ビットを運んだ（第3部第6章）のと同じ勘定である。

若いブラックホールと量子 Singleton 上界

若いブラックホール（$m=0$）では補助の $E$ が無く、$\hat U$ は $k$ 個の論理量子ビットを $n+k$ 個の物理量子ビットに書き込む普通の符号である。第3部第9章の量子 Singleton 上界（第3部第9章）は、$[[N_{\mathrm{phys}},k]]$ の符号が $t$ 個の量子ビットの消失を直すには $N_{\mathrm{phys}}-k\ge2t$ が要ることを言う。消失するのは $C$ の $n+k-s$ 個なので、

$$(n+k)-k\ge2(n+k-s)\iff s\ge k+\frac n2\tag{7.4.16}$$

が必要で、式 (7.4.12) の $m=0$ の立ち上がりと一致する。乱数の符号は、大きな次元では量子 Singleton 上界をほぼ等号で満たす。古いブラックホールと若いブラックホールの差 $n/2$ は、補助のもつれ $E$ の有無の差である。