出てくるもの（3）：等号の条件と回復写像

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第3章 §3.3.5　★★ 単調性が等号になるのは、後の状態から前の状態を同じ写像で戻せるときに限る（Petz）。強劣加法性の等号は量子 Markov 連鎖で、ほぼ等号ならほぼ戻せる（Fawzi–Renner）

Petz の回復写像

古典の単調性では、等号が成り立つのは、逆向きの条件付き分布（Bayes の公式で $q$ から作るもの）が $p$ についても同じになるとき、言い換えれば出力から入力を「$q$ に合わせて作った逆向きの通信路」で戻すと $p$ も戻るときだった（第1部第4章）。量子では、その逆向きの通信路の役をする写像が次の形で与えられる。

$\hat Y=\mathcal N(\hat\sigma)$ を入れると、括弧の中は $\mathcal N(\hat\sigma)$ の台への射影になり、$\mathcal N^\dagger$ はそれを（台の上で）$\mathbf 1$ に戻すので、$\mathcal P_{\hat\sigma,\mathcal N}(\mathcal N(\hat\sigma))=\hat\sigma$ が常に成り立つ。つまり $\hat\sigma$ は必ず戻すことができる。問題は $\hat\rho$ も戻せるかどうかである。$\mathcal P_{\hat\sigma,\mathcal N}$ 自身もチャネル（CPTP 写像、$\mathcal N(\hat\sigma)$ の台の上で）になっている。

すべてが交換する古典の場合、$\hat\sigma=\mathrm{diag}(\sigma(x))$ と Kraus 演算子 $\hat K_{yx}=\sqrt{W(y|x)}| y \rangle \langle x |$ を入れると、式 (3.3.15) は

$$\mathcal P(| y \rangle \langle y |)=\sum_x\frac{\sigma(x)W(y|x)}{(W\sigma)(y)}| x \rangle \langle x |$$

となる。これは事前分布 $\sigma$ と尤度 $W(y|x)$ から作る Bayes の事後分布そのもので、古典の逆向きの通信路に戻る。

この定理は D. Petz（1986, 1988）による¹1D. Petz (1986), Commun. Math. Phys. 105, 123; D. Petz (1988), Q. J. Math. 39, 97.下の脚注へ閉じる。$\Leftarrow$ は単調性を2回使えば直ちに出る。$\hat\rho\to\mathcal N(\hat\rho)\to\mathcal P(\mathcal N(\hat\rho))=\hat\rho$ と、$\hat\sigma$ についての同じ列で $D$ は減らないので、途中でも等しい。$\Rightarrow$ は、単調性の証明の不等式が等号になる条件を行列解析で詰める必要があり、この章では証明しない。この定理の内容は、「情報を失わない処理は、相手 $\hat\sigma$ だけから作った1つの写像で必ず元に戻すことができる」ということである。第3部第9章の量子誤り訂正（第3部第9章）で、符号の状態を誤りから戻す条件（Knill–Laflamme の条件）を情報量で言い直すときに、この定理を使う。

強劣加法性の等号：量子 Markov 連鎖

強劣加法性 $I(A;C\,|\,B)\ge0$ は、$\hat\rho_{ABC}$ と $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_{BC}$ の組に $\operatorname{Tr}_C$ を当てた単調性だった。定理 3.3.10 をこの組に当てると、$I(A;C\,|\,B)=0$ は「$\hat\rho_{AB}$ から、$B$ だけに作用する写像で $C$ を作り直して $\hat\rho_{ABC}$ が戻る」ことと同値になる。回復写像を書き下すと

$$I(A;C\,|\,B)=0\iff\hat\rho_{ABC}=\hat\rho_{BC}^{1/2}\bigl(\hat\rho_B^{-1/2}\hat\rho_{AB}\hat\rho_B^{-1/2}\otimes\mathbf 1_C\bigr)\hat\rho_{BC}^{1/2}\tag{3.3.16}$$

である（$\hat\rho_{BC}^{1/2}$ などは $\mathbf 1_A$ とのテンソル積を省いて書いた）。この形の状態を量子 Markov 連鎖 $A-B-C$ と呼ぶ。古典の $X\to Y\to Z$ が「$Y$ を知れば $X$ と $Z$ は独立」だったのと同じく、$A$ と $C$ の相関はすべて $B$ を通っている。

Hayden、Jozsa、Petz、Winter（2004）は、量子 Markov 連鎖の構造を決めた²2P. Hayden, R. Jozsa, D. Petz and A. Winter (2004), Commun. Math. Phys. 246, 359.下の脚注へ閉じる。$B$ の Hilbert 空間を $\mathcal{H}_B=\bigoplus_j\mathcal{H}_{b_j^{\mathrm L}}\otimes\mathcal{H}_{b_j^{\mathrm R}}$ と分けて、$\hat\rho_{ABC}=\bigoplus_jq_j\,\hat\rho_{Ab_j^{\mathrm L}}\otimes\hat\rho_{b_j^{\mathrm R}C}$ と書けるときに限る。$B$ の中で「$A$ と相関する部分」と「$C$ と相関する部分」が分かれていて、両者の間には古典的な添字 $j$ の相関しかない、という形である。

$I(A;C\,|\,B)$ が $0$ でなく小さいときにどうなるかは長く未解決だったが、Fawzi と Renner（2015）が

$$I(A;C\,|\,B)\ge-2\ln F\bigl(\hat\rho_{ABC},\,(\mathrm{id}_A\otimes\mathcal R_{B\to BC})(\hat\rho_{AB})\bigr)\tag{3.3.17}$$

を満たす回復写像 $\mathcal R_{B\to BC}$ が存在することを示した³3O. Fawzi and R. Renner (2015), Commun. Math. Phys. 340, 575.下の脚注へ閉じる。ここで $F(\hat\rho,\hat\sigma)=\lVert \hat\rho^{1/2}\hat\sigma^{1/2}\rVert _1$ は 2つの状態の忠実度で、一致するとき $1$、直交するとき $0$ になる。$I(A;C\,|\,B)$ が小さければ、$B$ からほぼ正確に $C$ を作り直すことができる。この不等式は第7部の Hayden–Preskill の議論とエンタングルメント・ウェッジの再構成（第7部第6章）で、「ある部分系から情報を復元できるか」を条件付き相互情報量で判定するときの道具になる。

GHZ 状態で確かめる。$\hat\rho_{AB}=\frac12(| 00 \rangle \langle 00 |+| 11 \rangle \langle 11 |)$、$\hat\rho_B=\mathbf 1/2$、$\hat\rho_{BC}=\frac12(| 00 \rangle \langle 00 |+| 11 \rangle \langle 11 |)$ を式 (3.3.16) の右辺に入れると$\frac12(| 000 \rangle \langle 000 |+| 111 \rangle \langle 111 |)$ になり、GHZ 状態との忠実度は $\sqrt{\langle \mathrm{GHZ} | \cdot | \mathrm{GHZ} \rangle }=1/\sqrt2$ である。$-2\ln(1/\sqrt2)=\ln2$ は例題 3.3.3 の $I(A;C\,|\,B)=\ln2$ にちょうど等しい。$B$ から $C$ を作り直すと、$A$、$B$、$C$ の古典的な相関は戻るが、3つにまたがるコヒーレンスは戻らない。

1　D. Petz (1986), Commun. Math. Phys. 105, 123; D. Petz (1988), Q. J. Math. 39, 97.

2　P. Hayden, R. Jozsa, D. Petz and A. Winter (2004), Commun. Math. Phys. 246, 359.

3　O. Fawzi and R. Renner (2015), Commun. Math. Phys. 340, 575.