相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第3章 §3.3.3 ★★★ 単調性を部分トレースに当てると強劣加法性。純粋化と組み合わせると弱単調性が出て、もつれの一夫一婦制の最も簡単な形になる
強劣加法性
定理 3.3.6（強劣加法性 ★★★）
3つの系の任意の状態 ρ ^ A B C \hat\rho_{ABC} ρ ^ A B C
S ( A B C ) + S ( B ) ≤ S ( A B ) + S ( B C ) , (3.3.9) S(ABC)+S(B)\le S(AB)+S(BC),\tag{3.3.9} S ( A B C ) + S ( B ) ≤ S ( A B ) + S ( B C ) , ( 3.3.9 )
すなわち I ( A ; C ∣ B ) ≥ 0 I(A;C\,|\,B)\ge0 I ( A ; C ∣ B ) ≥ 0 S ( A ∣ B C ) ≤ S ( A ∣ B ) S(A\,|\,BC)\le S(A\,|\,B) S ( A ∣ B C ) ≤ S ( A ∣ B )
証明 3.3.1 節で見たとおり、I ( A ; B C ) = D ( ρ ^ A B C ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B C ) I(A;BC)=D(\hat\rho_{ABC}\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_{BC}) I ( A ; B C ) = D ( ρ ^ A B C ∥ ρ ^ A ⊗ ρ ^ B C ) Tr C \operatorname{Tr}_C Tr C I ( A ; B ) I(A;B) I ( A ; B ) 3.3.5 から I ( A ; B ) ≤ I ( A ; B C ) I(A;B)\le I(A;BC) I ( A ; B ) ≤ I ( A ; B C ) I ( A ; C ∣ B ) ≥ 0 I(A;C\,|\,B)\ge0 I ( A ; C ∣ B ) ≥ 0 (3.3.2) で書き直したものが式 (3.3.9) である。
この不等式は Lieb と Ruskai（1973）が最初に証明した。歴史的には強劣加法性が先に示され、そこから単調性が導かれた（Lindblad 1975）が、この章では逆の順に、単調性から強劣加法性を出した。2つは同値で、どちらを先に示しても Lieb の凹性定理に相当する道具が要る。
B B B (3.3.9) は劣加法性 S ( A C ) ≤ S ( A ) + S ( C ) S(AC)\le S(A)+S(C) S ( A C ) ≤ S ( A ) + S ( C ) B B B H ( X , Y ) + H ( Y , Z ) ≥ H ( X , Y , Z ) + H ( Y ) H(X,Y)+H(Y,Z)\ge H(X,Y,Z)+H(Y) H ( X , Y ) + H ( Y , Z ) ≥ H ( X , Y , Z ) + H ( Y ) Y Y Y 3.3.6 節）。量子の B B B
弱単調性ともつれの一夫一婦制
古典では H ( X , Y ) ≥ H ( Y ) H(X,Y)\ge H(Y) H ( X , Y ) ≥ H ( Y ) S ( A B ) = 0 < S ( B ) = ln 2 S(AB)=0<S(B)=\ln2 S ( A B ) = 0 < S ( B ) = ln 2
系 3.3.7（弱単調性 ★★）
3つの系の任意の状態について
S ( A ) + S ( C ) ≤ S ( A B ) + S ( B C ) , 同じことだが S ( B ∣ A ) + S ( B ∣ C ) ≥ 0. (3.3.10) S(A)+S(C)\le S(AB)+S(BC),\qquad\text{同じことだが}\quad S(B\,|\,A)+S(B\,|\,C)\ge0.\tag{3.3.10} S ( A ) + S ( C ) ≤ S ( A B ) + S ( B C ) , 同じことだが S ( B ∣ A ) + S ( B ∣ C ) ≥ 0. ( 3.3.10 )
証明 ρ ^ A B C \hat\rho_{ABC} ρ ^ A B C R R R ρ ^ A B C R \hat\rho_{ABCR} ρ ^ A B C R A A A B B B R R R S ( A B R ) + S ( B ) ≤ S ( A B ) + S ( B R ) S(ABR)+S(B)\le S(AB)+S(BR) S ( A B R ) + S ( B ) ≤ S ( A B ) + S ( B R ) S ( A B R ) = S ( C ) S(ABR)=S(C) S ( A B R ) = S ( C ) S ( B R ) = S ( A C ) S(BR)=S(AC) S ( B R ) = S ( A C ) S ( C ) + S ( B ) ≤ S ( A B ) + S ( A C ) S(C)+S(B)\le S(AB)+S(AC) S ( C ) + S ( B ) ≤ S ( A B ) + S ( A C ) A A A B B B (3.3.10) の左の形になる。右の形は S ( B ∣ A ) = S ( A B ) − S ( A ) S(B\,|\,A)=S(AB)-S(A) S ( B ∣ A ) = S ( A B ) − S ( A ) S ( B ∣ C ) = S ( B C ) − S ( C ) S(B\,|\,C)=S(BC)-S(C) S ( B ∣ C ) = S ( B C ) − S ( C )
右の形の意味はこうである。前の章で見たように、条件付きエントロピー S ( B ∣ A ) S(B\,|\,A) S ( B ∣ A ) B B B A A A (3.3.10) は、S ( B ∣ A ) S(B\,|\,A) S ( B ∣ A ) S ( B ∣ C ) S(B\,|\,C) S ( B ∣ C ) B B B A A A B B B C C C もつれの一夫一婦制 （monogamy of entanglement）の最も簡単な形で、第3部第4章（第3部第4章 ）と第7部第5章のファイアウォールの議論（第7部第5章 ）で使う。
前の章では Araki–Lieb の不等式 ∣ S ( A ) − S ( B ) ∣ ≤ S ( A B ) \lvert S(A)-S(B)\rvert \le S(AB) ∣ S ( A ) − S ( B )∣ ≤ S ( A B )
例題 3.3.3 GHZ 状態と W 状態の条件付き相互情報量 ★★★
オリジナル 3量子ビットの2つの純粋状態
∣ G H Z ⟩ = ∣ 000 ⟩ + ∣ 111 ⟩ 2 , ∣ W ⟩ = ∣ 100 ⟩ + ∣ 010 ⟩ + ∣ 001 ⟩ 3 | \mathrm{GHZ} \rangle =\frac{| 000 \rangle +| 111 \rangle }{\sqrt2},\qquad | \mathrm W \rangle =\frac{| 100 \rangle +| 010 \rangle +| 001 \rangle }{\sqrt3} ∣ GHZ ⟩ = 2 ∣000 ⟩ + ∣111 ⟩ , ∣ W ⟩ = 3 ∣100 ⟩ + ∣010 ⟩ + ∣001 ⟩
について、量子ビットを左から A A A B B B C C C
それぞれについて S ( A ) S(A) S ( A ) S ( B ) S(B) S ( B ) S ( A B ) S(AB) S ( A B ) S ( B C ) S(BC) S ( B C ) S ( A B C ) S(ABC) S ( A B C )
I ( A ; C ∣ B ) I(A;C\,|\,B) I ( A ; C ∣ B ) S ( A ∣ B ) S(A\,|\,B) S ( A ∣ B ) S ( A ∣ B C ) S(A\,|\,BC) S ( A ∣ B C ) 弱単調性 S ( A ) + S ( C ) ≤ S ( A B ) + S ( B C ) S(A)+S(C)\le S(AB)+S(BC) S ( A ) + S ( C ) ≤ S ( A B ) + S ( B C )
解答 (1) GHZ：1つの量子ビットの状態は 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ) \frac12(| 0 \rangle \langle 0 |+| 1 \rangle \langle 1 |) 2 1 ( ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ ) S ( A ) = S ( B ) = ln 2 S(A)=S(B)=\ln2 S ( A ) = S ( B ) = ln 2 1 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) \frac12(| 00 \rangle \langle 00 |+| 11 \rangle \langle 11 |) 2 1 ( ∣00 ⟩ ⟨ 00∣ + ∣11 ⟩ ⟨ 11∣ ) S ( A B ) = S ( B C ) = ln 2 S(AB)=S(BC)=\ln2 S ( A B ) = S ( B C ) = ln 2 S ( A B C ) = 0 S(ABC)=0 S ( A B C ) = 0
W：ρ ^ A = 2 3 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + 1 3 ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ \hat\rho_A=\frac23| 0 \rangle \langle 0 |+\frac13| 1 \rangle \langle 1 | ρ ^ A = 3 2 ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + 3 1 ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ A A A ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ S ( A ) = h b ( 1 / 3 ) = ln 3 − 2 3 ln 2 = 0.6365 S(A)=h_{\mathrm b}(1/3)=\ln3-\frac23\ln2=0.6365 S ( A ) = h b ( 1/3 ) = ln 3 − 3 2 ln 2 = 0.6365 S ( B ) = S ( C ) S(B)=S(C) S ( B ) = S ( C ) S ( A B ) = S ( C ) S(AB)=S(C) S ( A B ) = S ( C ) S ( B C ) = S ( A ) S(BC)=S(A) S ( B C ) = S ( A ) h b ( 1 / 3 ) h_{\mathrm b}(1/3) h b ( 1/3 ) S ( A B C ) = 0 S(ABC)=0 S ( A B C ) = 0
(2) GHZ：I ( A ; C ∣ B ) = ln 2 + ln 2 − ln 2 − 0 = ln 2 I(A;C\,|\,B)=\ln2+\ln2-\ln2-0=\ln2 I ( A ; C ∣ B ) = ln 2 + ln 2 − ln 2 − 0 = ln 2 S ( A ∣ B ) = ln 2 − ln 2 = 0 S(A\,|\,B)=\ln2-\ln2=0 S ( A ∣ B ) = ln 2 − ln 2 = 0 S ( A ∣ B C ) = 0 − ln 2 = − ln 2 S(A\,|\,BC)=0-\ln2=-\ln2 S ( A ∣ B C ) = 0 − ln 2 = − ln 2 I ( A ; C ∣ B ) = h b ( 1 / 3 ) = 0.6365 I(A;C\,|\,B)=h_{\mathrm b}(1/3)=0.6365 I ( A ; C ∣ B ) = h b ( 1/3 ) = 0.6365 S ( A ∣ B ) = 0 S(A\,|\,B)=0 S ( A ∣ B ) = 0 S ( A ∣ B C ) = − h b ( 1 / 3 ) S(A\,|\,BC)=-h_{\mathrm b}(1/3) S ( A ∣ B C ) = − h b ( 1/3 ) I ( A ; C ∣ B ) > 0 I(A;C\,|\,B)>0 I ( A ; C ∣ B ) > 0 B B B B C BC B C B B B A A A S ( A ∣ B ) = 0 S(A\,|\,B)=0 S ( A ∣ B ) = 0 B C BC B C A A A S ( A ∣ B C ) S(A\,|\,BC) S ( A ∣ B C )
(3) GHZ：S ( A ) + S ( C ) = 2 ln 2 = S ( A B ) + S ( B C ) S(A)+S(C)=2\ln2=S(AB)+S(BC) S ( A ) + S ( C ) = 2 ln 2 = S ( A B ) + S ( B C ) 2 h b ( 1 / 3 ) = 2 h b ( 1 / 3 ) 2h_{\mathrm b}(1/3)=2h_{\mathrm b}(1/3) 2 h b ( 1/3 ) = 2 h b ( 1/3 ) S ( A B ) = S ( C ) S(AB)=S(C) S ( A B ) = S ( C ) S ( B C ) = S ( A ) S(BC)=S(A) S ( B C ) = S ( A )
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
