この章のまとめ

(1) $\lvert F(y)-F(z)\rvert =\lvert y-z\rvert \,\lvert 1-y-z\rvert$ なので、$\lvert y\rvert ,\lvert z\rvert \le R$ の範囲では Lipschitz 定数 $1+2R$ がとれる。$\mathbb{R}$ 全体では $\lvert 1-y-z\rvert$ に上限が無いので大域的な Lipschitz 定数は無いが、定理 2.4 は初期値のまわりの有界な長方形 $R$ での Lipschitz 性しか使わないので、局所解はただ一つ存在する。

(2) $y\equiv0$ と $y\equiv1$ はどちらも解である。$y_0\in(0,1)$ の解がある時刻 $t_1$ で $1$ に達したとすると、時刻 $t_1$ を初期時刻とみれば、その解と $y\equiv1$ は同じ初期値をもつ二つの解になり、一意性から一致する。すると $y_0=1$ となって矛盾する。$0$ についても同じなので、解は区間 $[0,1]$ から出られない（$y_0=0,1$ なら解は定数）。これは解を求めずに得たアプリオリ評価 $\lvert y(t)\rvert \le1$ であり、$F$ は各有界集合上で Lipschitz なので、定理 2.9 により解は全時刻で存在する。

(3) 二つの解はどちらも $[0,1]$ に留まり、そこでは $\lvert 1-y-z\rvert \le1$ なので、解の通る範囲に限れば Lipschitz 定数は $L=1$ である。定理 2.6 の証明は解の通る範囲での Lipschitz 性しか使わないので、$\delta=0$ として

$$\lvert y(3)-z(3)\rvert \le\lvert y_0-z_0\rvert \,\mathrm{e}^{3}=0.01\,\mathrm{e}^3\approx0.201$$

を得る。一方、変数分離で解くと $y(t)=1/\bigl(1+(1/y_0-1)\mathrm{e}^{-t}\bigr)$ で、$y(3)\approx0.952574$、$z(3)\approx0.954349$、差は約 $1.77\times10^{-3}$ である（検算スクリプト）。実際の差は初期の差 $0.01$ より小さくなっており、評価はおよそ $100$ 倍粗い。Grönwall 型の評価は $\lvert F'\rvert \le1$ という大きさの情報しか使わず、$F'$ の符号を見ない。解が近づいていく $y=1$ では $F'(1)=-1<0$ で、近くの解どうしはむしろ縮まる。例題 2.3 で反対称性を使って評価を改善したのと同じく、系の構造（ここでは安定な平衡点への収縮）を使わない限り、評価は指数関数的な増幅を見込んでしまう。この方程式一つで、存在・一意性（Picard–Lindelöf）、大域存在（アプリオリ評価）、連続依存（Grönwall）という表2.1の「適切性」と「誤差評価」の行がすべて使われている。

(1)（第2章 §弱解とソボレフ空間）$a_\kappa(u,u)=\lVert u'\rVert ^2+\kappa\lVert u\rVert ^2$ で、$\kappa\ge0$ から左の不等式が出る。Poincaré 不等式（定理 2.16、$L=1$）$\lVert u\rVert \le\lVert u'\rVert /\pi$ から $\kappa\lVert u\rVert ^2\le(\kappa/\pi^2)\lVert u'\rVert ^2$ で、右の不等式が出る。$a_\kappa$ は対称な双線形形式で、左の不等式から $a_\kappa(u,u)=0$ なら $u'=0$、境界条件から $u=0$ なので内積である。二つの不等式により、そのノルムは $H^1_0$ の内積 $\langle u,\,v\rangle _a=\int u'v'$ のノルムと同等なので、$H^1_0(0,1)$ は $a_\kappa$ についても完備なヒルベルト空間である。右辺 $\ell(v)=\int_0^1v\,\mathrm{d} x$ は $\lvert \ell(v)\rvert \le\lVert v\rVert \le\lVert v'\rVert /\pi\le a_\kappa(v,v)^{1/2}/\pi$ を満たす有界線形汎関数なので、Riesz の表現定理（定理 2.18）により $a_\kappa(u,v)=\ell(v)$ を満たす $u$ がただ一つ存在する。

(2)（第2章 §変分法の直接法、第1章 A 型）$\int_0^1(\pi\cos\pi x)^2\mathrm{d} x=\pi^2/2$、$\int_0^1\sin^2\pi x\,\mathrm{d} x=1/2$、$\int_0^1\sin\pi x\,\mathrm{d} x=2/\pi$ より

$$J_\kappa(a\sin\pi x)=\frac{\pi^2+\kappa}{4}a^2-\frac2\pi a.$$

$a$ で微分して $0$ とおくと $a=\dfrac{4}{\pi(\pi^2+\kappa)}$、最小値は $-\dfrac{4}{\pi^2(\pi^2+\kappa)}$ である。$\kappa=0$ では例題 2.8 の $a=4/\pi^3$、$-4/\pi^4$ に戻る。$\kappa=1$ では最小値は約 $-0.037286$ である。

(3)（第2章 §変分法の直接法）$\kappa>0$ で

$$u_\kappa(x)=\frac1\kappa\left(1-\frac{\cosh\bigl(\sqrt\kappa\,(x-\tfrac12)\bigr)}{\cosh(\sqrt\kappa/2)}\right)$$

とおくと、$-u_\kappa''=\cosh(\sqrt\kappa(x-\frac12))/\cosh(\sqrt\kappa/2)$、$\kappa u_\kappa=1-\cosh(\sqrt\kappa(x-\frac12))/\cosh(\sqrt\kappa/2)$ で和は $1$、$x=0,1$ で $0$ になる。弱形式で $v=u_\kappa$ とおくと $a_\kappa(u_\kappa,u_\kappa)=\int u_\kappa$ なので $J_\kappa(u_\kappa)=-\frac12\int_0^1u_\kappa\,\mathrm{d} x$ で、

$$\int_0^1u_\kappa\,\mathrm{d} x=\frac1\kappa-\frac{2}{\kappa^{3/2}}\tanh\frac{\sqrt\kappa}2.$$

$\kappa=1$ では $\int u_1=1-2\tanh\frac12\approx0.075766$、$J_1(u_1)\approx-0.037883$ で、試行関数の値 $-0.037286$ のほうが約 $5.97\times10^{-4}$ 高い（相対誤差 $1.6\%$）。差の式は次のように出る。任意の $v$ について

$$J_\kappa(v)-J_\kappa(u_\kappa)=\frac12a_\kappa(v,v)-\frac12a_\kappa(u_\kappa,u_\kappa)-\ell(v-u_\kappa),$$

で、弱形式 $\ell(v-u_\kappa)=a_\kappa(u_\kappa,v-u_\kappa)$ を代入して整理すると $\frac12a_\kappa(v-u_\kappa,v-u_\kappa)$ になる。これは (2.7) の内積を $a_\kappa$ に替えたものそのもので、$v\ne u_\kappa$ なら正である。$\kappa=1$ で $\frac12a_1(v-u_1,v-u_1)$ を直接積分した値も $5.97\times10^{-4}$ に一致する（検算スクリプト）。

(4)（第2章 §Grönwall の不等式とデータへの連続依存、§偏微分方程式へ）$u_0$ の弱形式は $\int u_0'v'=\ell(v)$ である。$u_\kappa$ の弱形式から引くと $\int w'v'+\kappa\int u_\kappa v=0$、$u_\kappa=w+u_0$ を代入して

$$\int_0^1(w'v'+\kappa wv)\,\mathrm{d} x=-\kappa\int_0^1u_0v\,\mathrm{d} x$$

を得る。$w$ は「残差 $-\kappa u_0$ を外力とする同じ型の方程式」の解である。$v=w$ とおき、Cauchy–Schwarz と Poincaré 不等式を使うと

$$\lVert w'\rVert ^2\le\lVert w'\rVert ^2+\kappa\lVert w\rVert ^2=-\kappa\int_0^1u_0w\,\mathrm{d} x\le\kappa\lVert u_0\rVert \lVert w\rVert \le\frac{\kappa\lVert u_0\rVert }\pi\lVert w'\rVert$$

で、$\lVert w'\rVert \le\kappa\lVert u_0\rVert /\pi$ である。$\lVert u_0\rVert ^2=\frac14\int_0^1x^2(1-x)^2\mathrm{d} x=\frac1{120}$ なので上界は $\kappa/(\pi\sqrt{120})$ で、$\kappa=1$ では約 $0.0291$ になる。実際の値は $\lVert w'\rVert \approx0.0264$ で、上界は実際の値の約 $1.1$ 倍に収まっている（検算スクリプト）。評価の形は定理 2.6 と同じく「残差の大きさ $\kappa\lVert u_0\rVert$」×「増幅率 $1/\pi$」で、増幅率を与えているのが Poincaré 不等式である。

(5)（第1章 §近似の3つの型）(2) は解を1次元の部分空間 $\operatorname{span}\{\sin\pi x\}$ の中で探す A 型（射影）の近似である。(3) で示したとおり、試行関数は $a_\kappa$ の内積で測った $u_\kappa$ の最良近似になり、エネルギーは必ず上界で、誤差はエネルギーノルムの2乗で決まる。小さいパラメータは要らず、保証するのは部分空間が解をどれだけ表せるかである。(4) は $\kappa$ を含む問題の族の $\kappa\to0$ の極限問題の解 $u_0$ を使う B 型（極限）の近似で、誤差は $\kappa$ に比例し、保証するのは $\kappa$ が小さいことである。

$\kappa=10$ では、(4) の上界は $10/(\pi\sqrt{120})\approx0.291$ で、$u_0$ 自身の大きさ $\lVert u_0'\rVert =\sqrt{\int_0^1(\frac12-x)^2\mathrm{d} x}=1/\sqrt{12}\approx0.289$ を超えてしまい、評価は何も言わない。実際の $\lVert w'\rVert$ も約 $0.144$ で、$\lVert u_0'\rVert$ の半分に達しているので、$u_0$ は $u_{10}$ の近似として役に立たない。一方 (2) の近似は $\kappa=10$ でも最小値 $-4/(\pi^2(\pi^2+10))\approx-0.020397$ が厳密値 $J_{10}(u_{10})\approx-0.020946$ に対して相対誤差 $2.6\%$ で、なお有効である（検算スクリプト）。A 型の近似は「解が部分空間で表せるか」という形の情報にしか依らないので $\kappa$ の大きさを問わず、B 型の近似は「パラメータが小さいか」にしか依らないので部分空間の選び方を問わない。保証の出どころが違うので、同じ問題でも使える範囲が違う。どちらにも誤差の保証があるので、C 型（閉じる）に当たる近似はこの問題には現れない。